Объяснение:
Выполним преобразование:
или
Пусть .
Тогда для 1-ого случая:
Заметим здесь теорему Виета (если не заметили, то можно просто решить эту систему).
Тогда:
Замечу, что замену можно было не делать. Она дана для понимания. Можно было сразу написать то, что идет после слов обратная замена.
Обратная замена:
Первое уравнение можно возвести в квадрат, так как обе части его положительны:
Очевиден прием решения: сложение.
Получили пару чисел (12; 4).
Получили пару (34; -30).
Для 2-ого случая:
Еще одна пара чисел:
Заметим, что , т.к. это число меньше 0.
Система уравнений решена!
заметим
1. x! (x > 4) оканчивается на 0 (x! = 1*2*...*(x-1)*x есть 2 и 5 в умножении)
2. квадраты чисел могут оканчиваться на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
после 4-х решений нет
33 - не квадрат, далее числа, которые оканчиваются на 3, что тоже не может быть квадратом
Смотрим x=1, 2 , 3
1. x = 1
1 = y²
y = 1
y = -1
2. x = 2
1! + 2! = y²
y² = 3 нет решений в целых числах
3. х = 3
1! + 2! + 3! = y²
y² = 1 + 2 + 6 = 9
y = 3
y = -3
ответ (1,1) (1,-1) (3,3) (3,-3)
Объяснение:
Выполним преобразование:
Пусть![\sqrt{x+y}=k,\;\sqrt[3]{x-y}=t](/tpl/images/1358/0734/e7517.png)
.
Тогда для 1-ого случая:
Заметим здесь теорему Виета (если не заметили, то можно просто решить эту систему).
Тогда:
или
Замечу, что замену можно было не делать. Она дана для понимания. Можно было сразу написать то, что идет после слов обратная замена.
Обратная замена:
Первое уравнение можно возвести в квадрат, так как обе части его положительны:
Очевиден прием решения: сложение.
Получили пару чисел (12; 4).
Получили пару (34; -30).
Для 2-ого случая:
Еще одна пара чисел:
Заметим, что
, т.к. это число меньше 0.
Система уравнений решена!
заметим
1. x! (x > 4) оканчивается на 0 (x! = 1*2*...*(x-1)*x есть 2 и 5 в умножении)
2. квадраты чисел могут оканчиваться на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
после 4-х решений нет
33 - не квадрат, далее числа, которые оканчиваются на 3, что тоже не может быть квадратом
Смотрим x=1, 2 , 3
1. x = 1
1 = y²
y = 1
y = -1
2. x = 2
1! + 2! = y²
y² = 3 нет решений в целых числах
3. х = 3
1! + 2! + 3! = y²
y² = 1 + 2 + 6 = 9
y = 3
y = -3
ответ (1,1) (1,-1) (3,3) (3,-3)