с решением Известно, что 2 < y < 8. Оцените значение выражения:
а) 4,5у + 2;
б)13 – у;
в) 3/у .
2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если его корнями служат числа 1 2/3 и -1 1/5 .

Объяснение:

удвоенное произведения (7-у) равно:  2(7-у),

оно должно быть не меньше, т.е. больше или равно (5у +7).

2(7 - у) ≥ 5у +7

Откроем скобки:

14 - 2у ≥ 5у +7

Неизвестные члены перенесем влево с противоположным знаком, известные - в правую часть, тоже с противоположным знаком:

-2у -5у ≥ 7 - 14

-7у ≥ -7

-у ≥ -1

Умножим левую и правую часть на (-1). При этом: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный:

у ≤ 1

ответ: у ≤ 1

Tg x + tg 2x + tg x*tg 2x*tg 3x = tg 3x + tg 4x
Тангенсы кратных углов
tg 2x = 2tg x/(1 - tg^2 x)

tg 3x = tg(x + 2x) = (tg x + tg 2x) / (1 - tg x*tg 2x) =
= (tg x + 2tg x/(1-tg^2 x)) / (1 - tg x*2tg x/(1-tg^2 x)) =
= [(tg x*(1-tg^2 x) + 2tg x)/(1-tg^2 x)] : [(1-tg^2 x-2tg^2 x)/(1-tg^2 x)] =
= (3tg x - tg^3 x) / (1 - 3tg^2 x) = tg x*(3 - tg^2 x)/(1 - 3tg^2 x)

tg x*tg 2x*tg 3x = tg x*2tg x/(1 - tg^2 x)*tg x*(3 - tg^2 x)/(1 - 3tg^2 x) =
= 2tg^3 x*(3 - tg^2 x) / ((1 - tg^2 x)(1 - 3tg^2 x))

tg 4x = tg 2(2x) = 2tg 2x/(1 - tg^2 2x) =
= [2*2tg x/(1 - tg^2 x)] : [(1 - 4tg^2 x)/(1 - tg^2 x)^2] =
= [4tg x/(1-tg^2 x)]*[(1-tg^2 x)^2 / (1-4tg^2 x)] = 4tg x*(1-tg^2 x)/(1-4tg^2 x)
Подставляем с заменой tg x = t
t + 2t/(1 - t^2) + 2t^3*(3 - t^2) / ((1 - t^2)(1 - 3t^2)) =
= t*(3 - t^2)/(1 - 3t^2) + 4t*(1 - t^2)/(1 - 4t^2)
1) t = tg x = 0; x1 = pi*k
2) Делим все на t
1 + 2/(1 - t^2) + 2t^2*(3 - t^2) / ((1 - t^2)(1 - 3t^2)) =
= (3 - t^2)/(1 - 3t^2) + 4(1 - t^2)/(1 - 4t^2)
Еще замена t^2 = z >= 0 при любом t
1 + 2/(1-z) + 2z(3-z)/((1-z)(1-3z)) = (3-z)/(1-3z) + 4(1-z)/(1-4z)
Общий знаменатель (1 - z)(1 - 3z)(1 - 4z)
Приравниваем числители
(1-z)(1-3z)(1-4z) + 2(1-3z)(1-4z) + 2z(3-z)(1-4z) =
= (3-z)(1-z)(1-4z) + 4(1-z)(1-z)(1-3z)
Раскрываем скобки
(1-4z+3z^2)(1-4z) + 2(1-7z+12z^2) + 2z(3-13z+4z^2) =
= (3-4z+z^2)(1-4z) + 4(1-2z+z^2)(1-3z)
Еще раскрываем скобки
1-4z+3z^2-4z+16z^2-12z^3+2-14z+24z^2+6z-26z^2+8z^3 =
= 3-4z+z^2-12z+16z^2-4z^3+4-8z+4z^2-12z+24z^2-12z^3
Упрощаем
12z^3 - 28z^2 + 20z - 4 = 0
Делим все на 4
3z^3 - 7z^2 + 5z - 1 = 0
3z^3 - 3z^2 - 4z^2 + 4z + z - 1 = 0
(z - 1)(3z^2 - 4z + 1) = 0
(z - 1)(z - 1)(3z - 1) = 0
z1 = z2 = t^2 = 1;
t1 = tg x = -1; x = -pi/4 + pi*n;
t2 = tg x = 1; x = pi/4 + pi*n
Общий ответ: x2 = +-pi/4 + pi*n
z3 = t^2 = 1/3
t3 = tg x = -1/√3; x = -pi/6 + pi*m
t4 = tg x = 1/√3; x = pi/6 + pi*m
Общий ответ: x3 = +-pi/6 + pi*m

ответ: x1 = pi*k;  x2 = +-pi/4 + pi*n; x3 = +-pi/6 + pi*m