4. ОДЗ предполагает, что в выражении будет смысл. Поэтому, у нас есть два ограничения: знаменатель дроби не равен 0, а также вся дробь больше или равна 0, а равна нулю дробь, только если числитель равен нулю. Начнём с знаменателя:
Приравниваем к нулю, решаем квадратное уравнение и получаем, что в ОДЗ не входят точки 2 и 3. Теперь нам нужно узнать, при каких значения вся дробь больше или равна 0. Получаем что она равна нулю при x = -4, а больше нуля соответственно при x > -4. Получаем ОДЗ:
1) Доказать:
а^2 - 3а > 5а - 20
Доказательство:
Оценим разность:
(а^2 - 3а) - (5а - 20) = а^2 - 3а - 5а + 20 = а^2 - 8а + 20 = а^2 - 8а + 16 + 4 = (а-4)^2 + 4.
Так как (а-4)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то (а-4)^2 + 4 ≥ 4, т.е.
(а^2 - 3а) - (5а - 20) > 0, по определению
а^2 - 3а > 5а - 20, ч.т.д.
2) Доказать:
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4
Доказательство:
Оценим разность:
(28а - 32) - (7а^2 - 4) = 28а - 32 - 7а^2 + 4 = -7а^2 + 28а - 28 = -7•(а^2 - 4а + 4) = -7•(а-2)^2.
Так как (а-2)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то
-7•(а-2)^2 ≤ 0 при всех действительных а.
Получили, что
(28а - 32) - (7а^2 - 4) ≤ 0, тогда по определению
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4, ч.т.д.
4. ОДЗ предполагает, что в выражении будет смысл. Поэтому, у нас есть два ограничения: знаменатель дроби не равен 0, а также вся дробь больше или равна 0, а равна нулю дробь, только если числитель равен нулю. Начнём с знаменателя:
Приравниваем к нулю, решаем квадратное уравнение и получаем, что в ОДЗ не входят точки 2 и 3. Теперь нам нужно узнать, при каких значения вся дробь больше или равна 0. Получаем что она равна нулю при x = -4, а больше нуля соответственно при x > -4. Получаем ОДЗ:
x принадлежит [-4; 2) ∪ (2; +∞)