Решите в целых числах уравнение (х+2010)(х+2011)(х+2012)=24

(х+2010)(х+2011)(х+2012)=24

производим замену переменной

х+2010=у

y(y+1)(y+2)=24

y(y+1)(y+2)-24=0

у(у²+(2у+у)+2)-24=0

у(у²+3у+2)-24=0

у³+3у²+2у-24=0

(y-2)(y²+5y+12)=0

y-2=0 ⇒ y=2

y²+5y+12=0

Cчитаем дискриминант:

Дискриминант отрицательный, следовательно уравнение не имеет действительных решений.

x+2010=2
x=-2008

Решение теперь очевидно, поскольку 2·3·4=24

t=x+2010

t(t+1)(t+2)=24

t(t²+2t+t+2)=24

t³+2t²+t²+2t=24

t³+3t²+2t-24=0

2³+3*2²+2*2-24=0

8+12+4-24=0

0=0 ⇒ 2 является корнем уравнения

схема Хорнера

t²+5t+12=0

Δ=5²-4*1*12

Δ=25-48

Δ=-23 ⇒ нет решения

x+2010=2

x=-2008