Сначала разложим числитель. Там стоит разность квадратов выражения х и выражения 5. x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5). Тогда неравенство примет вид: (х+5)*(х-5) / (3 - х) ≤ 0;
Найдем нули. х+5 = 0. х - 5 = 0. 3 - х = 0. х = - 5 . х = 5. х = 3. Нарисуем координатную прямую, отметим на ней эти 3 точки. Точки х = 5 и х = - 5 закрасим, так они пришли из числителя, точку х = 3 выколем, потому что на ноль делить нельзя. Эти 3 точки разделили координатную прямую на 4 части. Определим знаки неравенства на этих участках. Например, возьмем точку х = 6 и подставим ее к неравенство, получим (6 + 5)*(6 - 5) /( 3 - 6) = - 11/3 < 0 . Число отрицательное, поэтому правее х = 5 ставим минус. Дальше чередуем знаки. + - + - [-5](3)[5]x
Получается, что неравенство меньше или равно нуля на интервалах [-5; 3) U [ 5; + ∞)
Для того, чтобы найти точки экстремума(точки минимума или максимума) нам нужно найти производную и приравнять ее к 0.
(Почему так? Как это работает? Производная - скорость роста функции. Если значения производной отрицательны, то функция убывает. Если же значения производной положительны, то функция возрастает. Есть точки, в которых функция ни возрастает, ни убывает. В этих точки график производной проходит через ось Ох, то есть значение производной равно 0.)
- точки экстремума.
Для того, чтобы определить, где точка минимума, а где точка максимума нужно нарисовать координатную прямую, отметить на ней точки и определить знаки интервалов(как в методе интервалов). (см. рисунок) Для того, чтобы определить знак интервала, подставляем любое значение из этого интервала в уравнение производной.
Пример: определим знак интервала Возьмем число: 1. Интервал отрицательный и т.д.
Там, где интервалы отрицательны(где отрицательны значения производной) сама функция убывает. Там, где интервалы положительны, функция возрастает. (Таким методом определяют промежутки возрастания и убывания функций)
И так. Если функция сначала убывала, а потом проходя через какую-то точку начала возрастать, то, очевидно, она через точку минимума. (см. рисунок) Если же возрастание меняется убыванием это, очевидно, точка максимума.
И так: - точка максимума. - точка минимума.
обратить внимания, что для точек минимума и максимума не нужно искать значение функции в это точке, и не стоит записывать ее координаты так: (0;2) и тому подобное. Правильная запись выше.
x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5).
Тогда неравенство примет вид:
(х+5)*(х-5) / (3 - х) ≤ 0;
Найдем нули. х+5 = 0. х - 5 = 0. 3 - х = 0.
х = - 5 . х = 5. х = 3.
Нарисуем координатную прямую, отметим на ней эти 3 точки. Точки х = 5 и х = - 5 закрасим, так они пришли из числителя, точку х = 3 выколем, потому что на ноль делить нельзя. Эти 3 точки разделили координатную прямую на 4 части. Определим знаки неравенства на этих участках.
Например, возьмем точку х = 6 и подставим ее к неравенство, получим
(6 + 5)*(6 - 5) /( 3 - 6) = - 11/3 < 0 .
Число отрицательное, поэтому правее х = 5 ставим минус. Дальше чередуем знаки.
+ - + -
[-5](3)[5]x
Получается, что неравенство меньше или равно нуля на интервалах
[-5; 3) U [ 5; + ∞)
Для того, чтобы найти точки экстремума(точки минимума или максимума) нам нужно найти производную и приравнять ее к 0.
(Почему так? Как это работает?
Производная - скорость роста функции. Если значения производной отрицательны, то функция убывает. Если же значения производной положительны, то функция возрастает. Есть точки, в которых функция ни возрастает, ни убывает. В этих точки график производной проходит через ось Ох, то есть значение производной равно 0.)
Для того, чтобы определить, где точка минимума, а где точка максимума нужно нарисовать координатную прямую, отметить на ней точки и определить знаки интервалов(как в методе интервалов). (см. рисунок)
Для того, чтобы определить знак интервала, подставляем любое значение из этого интервала в уравнение производной.
Пример: определим знак интервала
Возьмем число: 1.
Интервал отрицательный и т.д.
Там, где интервалы отрицательны(где отрицательны значения производной) сама функция убывает.
Там, где интервалы положительны, функция возрастает. (Таким методом определяют промежутки возрастания и убывания функций)
И так. Если функция сначала убывала, а потом проходя через какую-то точку начала возрастать, то, очевидно, она через точку минимума. (см. рисунок)
Если же возрастание меняется убыванием это, очевидно, точка максимума.
И так:
обратить внимания, что для точек минимума и максимума не нужно искать значение функции в это точке, и не стоит записывать ее координаты так: (0;2) и тому подобное. Правильная запись выше.