Поскольку необходимо представить число 68 в виде суммы двух чисел, то пусть первое число х, тогда второе число (68-х). Тогда сумма квадратов слагаемых будет равна: х²+(68-х)²=х²+68²-2*68*х+х²=2х²-136х+4624
Здесь можно найти минимальное значение 2-мя 1) с производной (2х²-136х+4624)'=4x-136 4x-136=0 4x=136 x=136:4 х=34 Значит будет 2 одинаковых положительных числа 34 и 34.
2) с графика y=2х²-136х+4624 Это парабола - ветви направлены вверх. Значит наименьшее значение будет в вершине параболы. х₀=-b/2a=-(-136)/4=34
x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z
sin2x + 14cos²x - 8 = 0
2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0
-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)
4tg²x - tgx - 3 = 0
4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0
4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0
(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0
4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0
tgx = -4/3 или tgx = 1
x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z
Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.
Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).
По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.
tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.
Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.
ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
Тогда сумма квадратов слагаемых будет равна:
х²+(68-х)²=х²+68²-2*68*х+х²=2х²-136х+4624
Здесь можно найти минимальное значение 2-мя
1) с производной
(2х²-136х+4624)'=4x-136
4x-136=0
4x=136
x=136:4
х=34
Значит будет 2 одинаковых положительных числа 34 и 34.
2) с графика
y=2х²-136х+4624
Это парабола - ветви направлены вверх. Значит наименьшее значение будет в вершине параболы.
х₀=-b/2a=-(-136)/4=34
34+34=68
5cos2x + 2cosx - 3 = 0
10cos²x - 5 + 2cosx - 3 = 0
10cos²x + 2cosx - 8 = 0
10cos²x + 10cosx - 8cosx - 8 = 0
10cosx(cosx + 1) - 8(cosx + 1) = 0
(10cosx - 8)(cosx + 1) = 0
cosx + 1 = 0 или 10cosx - 8 = 0
cosx = -1 или cosx = 4/5
x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z
sin2x + 14cos²x - 8 = 0
2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0
-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)
4tg²x - tgx - 3 = 0
4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0
4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0
(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0
4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0
tgx = -4/3 или tgx = 1
x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z
Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.
Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).
По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.
tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.
Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.
ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.