Алгебра: Решите уравнение -2sinx=-√3. cos2x-sinx=0

Решите уравнение -2sinx=-√3. cos2x-sinx=0

Показать ответ

Ответ:

vnviy1234

08.10.2020 20:59

1.-2sin (x)=- $\sqrt{3}$
Разделить обе стороны уравнения на -2:
sin (x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
Поскольку sin (t)=sin(π-t),уравнение имеет 2 решения:
sin (x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$
sin (π-x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
Чтобы изолировать x/π-x,нужно использовать обратную тригонометрическую функцию:
x=arcsin ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )
x=arcsin ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ );
Используя таблицу значений тригонометрических функций или единичную окружность,найдём значение arcsin( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ):
x= $\frac{\pi}{3}$
π-x= $\frac{\pi}{3}$ ;
Поскольку sin (x/π-x) является периодической функцией,нужно добавить период 2kπ,k∈Z для нахождения всех решений:
x= $\frac{\pi}{3}$ +2kπ,k∈Z
π-x= $\frac{\pi}{3}$ +2kπ,k∈Z;
Решить уравнение относительно x:
x= $\frac{\pi}{3}$ +2kπ,k∈Z остаётся
x= $\frac{2\pi}{3}$ -2kπ,k∈Z;
Т.к. k∈Z,то -2kπ=2kπ:
x= $\frac{2\pi}{3}$ +2kπ,k∈Z
x= $\frac{2\pi}{3}$ +2kπ,k∈Z;
Окончательное решение:
x= $\left \{ {{\frac{\pi}{3}+2k\pi} \atop {\frac{2\pi}{3}}+2k\pi} \right.$ , k∈Z.
2.cos (2x)-sin (x)=0
Используя cos (2t)=1-2sin (t²),записать выражение в развёрнутом виде:
1-2sin (x)²-sin (x)=0;
Решить уравнение используя подстановку t=sin (x):
1-2t²-t=0;
Решить уравнение относительно t:
t= $\frac{1}{2}$
t=-1;
Сделать обратную подстановку t=sin (x):
sin (x)= $\frac{1}{2}$
sin (x)=-1;
Решить уравнение относительно x:
x= $\frac{\pi}{6} +2k\pi$ , k∈Z,
x= $\frac{5\pi}{6} +2k\pi$ , k∈Z
x= $\frac{3\pi}{2} +2k\pi$ , k∈Z;
Найти объединение:
x= $\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ , k∈Z