Решите системы неравенств:
1)
{x^2-10x+9≥0
{12-3x<0
2)
{2x^2-5x+2>0
{4x-1≥3
3)
{2x^2-7x+5<0
{2-x≥0

В решении.

Объяснение:

№1

Какая из следующих функций является квадратичной, ее выписать и указать ее коэффициенты:

а) у=х²+2-4х ; б) у=х²+22; в) у=-х-43х г) у=-3х²+27-5х; д) у=2-4х.

Квадратичные функции вида у = ax² + bx + c;

В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, c называется известным или свободным членом.

у=х²+2-4х;  первый коэффициент = 1; второй = -4; свободный член = 2;

у=х²+22; первый коэффициент = 1; второй = 0; свободный член = 22;

у=-3х²+27-5х; первый коэффициент = -3; второй = -5; свободный член = 27.

№2

Найти координаты вершины параболы по формуле:

а) у = -х² + 2 - 4х;

б) у = х² + 22х - 3;

в) у = -х - 43х² + 5;

г) у = -3х² + 27 - 5х;

д) у = 12 - 4х².

Формула х₀ = -b/2a;  потом значение х₀ подставить в уравнение функции и вычислить у₀. (х₀; у₀) - координаты вершины параболы.

а) у = -х² - 4х + 2;

х₀ = 4/-2

х₀ = -2;

у₀ = -(-2)² - 4 * (-2) + 2 = -4 + 8 + 2 = 6;

у₀ = 6;

Координаты вершины параболы: (-2; 6);

б) у = х² + 22х - 3;

х₀ = -22/2

х₀ = -11;

у₀ = (-11)² + 22 * (-11) - 3 = 121 - 242 - 3 = -124;

у₀ = -124;

Координаты вершины параболы: (-11; -124);

в) у = - 43х² - х + 5;

х₀ = 1/-86

х₀ = -0,01;

у₀ = -43 * (-0,01)² - (-0,01) + 5 = -0,0043 + 0,01 + 5 = 5,0057

у₀ = 5;

Координаты вершины параболы: (-0,01; 5);

г) у = -3х² - 5х + 27;

х₀ = 5/-6

х₀ = -5/6;

у₀ = -3 * (-5/6)² - 5 * (-5/6) + 27 = -25/12 + 25/6 + 27 = 349/12 = 29 1/12;

у₀ = 29 1/12;

Координаты вершины параболы: (-5/6; 29 1/12);

д) у = - 4х² + 12;

х₀ = 0/-8

х₀ = 0;

у₀ = -4 * 0² + 12

у₀ = 12;

Координаты вершины параболы: (0; 12),

№3

Составьте квадратный трехчлен ах²+вх+с, у которого:

а) а=3,в=-12,с=0;   →   3х² - 12х;

б) а=1,в=0,с=4;   →   х² + 4;

в) а=-1,в=-1,с=114;   →  -х² - х + 114;

г)а=2,в=-1,с=0,5;   →   2х² - х + 0,5;

д) а=-13,в=10,с=20;   →   -13х² + 10х + 20.  

<!--c-->

Преобразим заданное уравнение:

x3+12x2−27x=a

С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.

1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.

Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).

2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:

3x2+24x−27=0|÷3x2+8x−9=0D4=(b2)2−ac=822+9=25x1,2=−b2±D4−−√a=−82±25−−√1=−82±5x1=−82−5=−9x2=−82+5=1

Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.

Если производная функции в критической (стационарной) точке:

1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;

2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;

3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, определим точки экстремума:

При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при  −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При  −9<x<1 имеем отрицательную производную, при

Объяснение: