11sin^2 a + 9cos^2 a + 8sin^4 a + 2cos^4 a = = 9sin^2 a + 9cos^2 a + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2(sin^4 a + 2cos^4 a) = (*) Заметим, что 1) 9sin^2 a + 9cos^2 a = 9(sin^2 a + cos^2 a) = 9 2) sin^4 a + cos^4 a = sin^4 a + 2sin^2 a*cos^2 a + cos^4 a - 2sin^2 a*cos^2 a = = (sin^2 a + cos^2 a)^2 - 2sin^2 a*cos^2 a = 1 - 1/2*(4sin^2 a*cos^2 a) Подставляем (*) = 9 + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2 - 4sin^2 a*cos^2 a = = 11 + 4sin^2 a - 2sin^2 a + 6sin^4 a - 4sin^2 a*cos^2 a = = 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^2 a*(1 - cos^2 a) = = 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^4 a = 11 - 2sin^2 a + 10sin^4 a = = 10(sin^4 a - 2*1/10*sin^2 a + 1/100) - 1/10 + 11 = = 10(sin^2 a - 1/10)^2 + 109/10 Минимальное значение квадрата равно 0, а всего выражения 109/10.
Так как члены представляют собой арифметическую прогрессию, то a2=a1+d, a5=a1+4d, где d - знаменатель арифметической прогрессии. Но так как эти же члены являются членами геометрической прогрессии, то a2=a1*q и a5=a1*q², где q - знаменатель геометрической прогрессии. По условию, a2+1=a1+1+d1, a5-3=a1+1+2d1, или a2=a1+d1, a5=a1+4+2d1. Из первого уравнения находим d1=d. Так как a5=a1+4d, то из второго уравнения следует уравнение 4d=4+2d, откуда d=2. Теперь, заменяя a2 на a1+2 и a5 на a1+8, получаем уравнения a1+2=a1*q, a1+8=a1*q². Из первого уравнения следует a1=2/(q-1). Подставляя это выражение во второе уравнение, приходим к квадратному уравнению q²-4q+3=0. Дискриминант D=(-4)²-4*1*3=4=2². Отсюда q=(4+2)/2=3 либо q=(4-2)/2=1. Но если q=1, то все члены геометрической прогрессии, а с ней и все члены исходной арифметической прогрессии, были бы равны, что было бы возможно лишь при d=0. Но так как d=2≠0, то q≠1. Значит, q=3. Тогда a1=2/(3-1)=1, и искомая сумма S100=100*(a1+a100)/2=50*(a1+a100). Но a100=a1+99d=1+99*2=199, и тогда S100=50*(1+199)=10 000. ответ: 10 000.
= 9sin^2 a + 9cos^2 a + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2(sin^4 a + 2cos^4 a) = (*)
Заметим, что
1) 9sin^2 a + 9cos^2 a = 9(sin^2 a + cos^2 a) = 9
2) sin^4 a + cos^4 a = sin^4 a + 2sin^2 a*cos^2 a + cos^4 a - 2sin^2 a*cos^2 a =
= (sin^2 a + cos^2 a)^2 - 2sin^2 a*cos^2 a = 1 - 1/2*(4sin^2 a*cos^2 a)
Подставляем
(*) = 9 + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2 - 4sin^2 a*cos^2 a =
= 11 + 4sin^2 a - 2sin^2 a + 6sin^4 a - 4sin^2 a*cos^2 a =
= 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^2 a*(1 - cos^2 a) =
= 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^4 a = 11 - 2sin^2 a + 10sin^4 a =
= 10(sin^4 a - 2*1/10*sin^2 a + 1/100) - 1/10 + 11 =
= 10(sin^2 a - 1/10)^2 + 109/10
Минимальное значение квадрата равно 0, а всего выражения 109/10.