Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
sin2x cosx = cos2x sinx
2sinxcosxcosx=cos2xsinx sinx=0 x=Пk
2cos^2x=cos2x
2cos^2x=2cos^2x-1 ∅
ответ x=Пk
cos5x cosx = cos4x
cos4x+cos6x=2cos4x
cos6x-cos4x=0
-2sin5xsinx=0
x=Пk
x=Пk/5
3+sin2x = 4sin^2x
3sin^2x+3cos^2x+2sinxcosx=4sin^2x
sin^2x-3cos^2x-2sinxcosx=0
sinx/cosx-3cosx/sinx-2=0
tgx-3/tgx-2=0
tg^2x-2tgx-3=0 tgx=3 tgx=-1
x=-П/4+Пk
x=arctg3+Пk
cos2x + cos^2x + sinx cos x = 0
2cos^2x-sin^2x+sinxcosx=0 |sinxcosx
2cosx/sinx-sinx/cosx+1=0
2ctgx-tgx+1=0
2/tgx-tgx+1=0
-tg^2x+tgx+2=0 tg^2x-tgx-2=0
tgx=(1+-3)/2 tgx=2 tgx=-1
x=-П/4+Пk
x=arctg2+Пk
3 cos 2x + sin^2x + 5 sinx cosx = 0
3cos^2x-2sin^2x+5sinxcosx=0
3cosx/sinx-2sinx/cosx+5=0
3/tgx-2tgx+5=0
2tgx-3/tgx-5=0
2tg^2x-5tgx-3=0
tgx=(5+-7)/4 tgx=3 tgx=-1/2
x=arctg3+Пk
x=-arctg1/2+Пk
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.