Решите логарифмическое неравенство

Решить неравенство Log(1/6)(5ˣ⁺¹ -5²ˣ) ≤ Log(6)(1/4*5⁻ˣ)

Объяснение:

-Log(6)(5ˣ⁺¹ -5²ˣ) ≤ Log(6)(4⁻¹*5⁻ˣ),

-Log(6)(5ˣ⁺¹ -5²ˣ) ≤ Log(6)(4*5ˣ)⁻¹,

-Log(6)(5ˣ⁺¹ -5²ˣ) ≤- Log(6)(4*5ˣ),

Log(6)(5ˣ⁺¹ -5²ˣ) ≥ Log(6)(4*5ˣ),   т.к. 6>1

Система . Решим каждое неравенство.

{5ˣ⁺¹ -5²ˣ>0       (1)

{1/4*5⁻ˣ>0        (2) т.к. 1/4>0 ,то верно для любого х .

{5ˣ⁺¹ -5²ˣ ≥4*5ˣ (3)

1)5ˣ⁺¹ -5²ˣ>0  , 5*5ˣ -5ˣ*5ˣ>0  , 5ˣ(5-5ˣ)>0 .Т.к 5ˣ>0 для любого х , то 5-5ˣ>0  или 5ˣ<5 , х<1

3) 5ˣ⁺¹ -5²ˣ ≥4*5ˣ,

5*5ˣ -5²ˣ-4*5ˣ ≥ 0,

5ˣ -5²ˣ ≥0,

5ˣ(1 -5ˣ )≥0 , т.к 5ˣ >0 для любого х , то  1 -5ˣ ≥0 или 5ˣ ≤1 или 5ˣ ≤5⁰, х≤0.

Получили

{х<1

{х≤0.

ответ . х≤0.

㏒₁/₆(5ˣ⁺¹-5²ˣ)≤㏒₁/₆(4*5ˣ)

ОДЗ 5ˣ⁺¹-5²ˣ≥0; 5ˣ⁺¹≥5²ˣ; х+1>2x;   x<1; 4*5ˣ=(1/4)*5⁻ˣ>0 при любом х.

поэтому ОДЗ х∈(-∞;1)

Т.к.  0<(1/6)<1, то (5ˣ⁺¹-5²ˣ)≥4*5ˣ;   5ˣ⁺¹-4*5ˣ≥5²ˣ; 5ˣ≥5²ˣ; т.к. 5>1, то х≥2х;

х≤0

ответ х∈(-∞;0]