1) Производная функции f(x)=4x-sinx+1 равна f'(x) = 4 - cos(x). Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны: f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1 f'(x) = 4 - 1 = 3 Тогда уравнение касательной: Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна: f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2. Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе. Для этого находим критические точки: x^2 - 2x - 8 = 0 Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4; x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2. Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.
1. Простым языком: мода - то число, которое встречается чаще, медиана - это то числа, справа и слева от которого находится равное кол-во чисел.
Моды в данном случае две: 1) 6; 2) 8, т.к. эти числа встречаются в выборке чаще других.
Медиану легко найти, заметив, что всего чисел 9. Т.е. медианой будет число, стоящее на 5 месте в выборке, т.к. оно делит ее на две равные половины: справа от 5 элемента будет 4 числа и слева от него будет 4 числа. На 5 месте стоит число 8 - это и есть медиана.
Среднее значение ищем как среднее арифметическое - складываем все числа и делим на их количество:
2. Всего карточек - 15. Вероятность будем искать, воспользовавшись классическим определением вероятности: вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: . Заметим, что во всех случаях, очевидно, .
1) Выбираем из 15 первых натуральных чисел те, что кратны 4: это числа 4, 8 и 12, т.е. таких чисел 3. Т.е. . Тогда (20%)
2) Выбираем из 15 первых натуральных чисел те, которые не кратны ни числу 3, ни числу 5: это числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, т.е. таких чисел 8. Т.е. . Тогда .
ОТВЕТ: 1) 0,2; 2) .
3. Пусть в коробке черных шариков. Общее число шаров равно .
Вероятность того, что выбранный шарик - черный, согласно классическому определению вероятности, равна .
Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны:
f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1
f'(x) = 4 - 1 = 3
Тогда уравнение касательной:
Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна:
f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2.
Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе.
Для этого находим критические точки:
x^2 - 2x - 8 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4;
x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2.
Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.
1. Простым языком: мода - то число, которое встречается чаще, медиана - это то числа, справа и слева от которого находится равное кол-во чисел.
Моды в данном случае две: 1) 6; 2) 8, т.к. эти числа встречаются в выборке чаще других.
Медиану легко найти, заметив, что всего чисел 9. Т.е. медианой будет число, стоящее на 5 месте в выборке, т.к. оно делит ее на две равные половины: справа от 5 элемента будет 4 числа и слева от него будет 4 числа. На 5 месте стоит число 8 - это и есть медиана.
Среднее значение ищем как среднее арифметическое - складываем все числа и делим на их количество:
ОТВЕТ: мода - 6; 8. Медиана - 8. Среднее значение -
.
2. Всего карточек - 15. Вероятность будем искать, воспользовавшись классическим определением вероятности: вероятность
равна отношению числа 
благоприятных исходов к общему числу 
исходов: 
. Заметим, что во всех случаях, очевидно, 
.
1) Выбираем из 15 первых натуральных чисел те, что кратны 4: это числа 4, 8 и 12, т.е. таких чисел 3. Т.е.
. Тогда 
(20%)
2) Выбираем из 15 первых натуральных чисел те, которые не кратны ни числу 3, ни числу 5: это числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, т.е. таких чисел 8. Т.е.
. Тогда 
.
ОТВЕТ: 1) 0,2; 2)
.
3. Пусть в коробке
черных шариков. Общее число шаров равно 
.
Вероятность того, что выбранный шарик - черный, согласно классическому определению вероятности, равна
.
По условию
.
Решаем уравнение; по свойству пропорции:
Т.е. всего было 18 черных шаров.
ОТВЕТ: 18.