Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

1)

нет решений

2)

3)

, где - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

1)

Очевидно, что  

Заметим, что число - простое ( сначала будет считать, что , в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

 ( дает при делении на остаток )

Возведем обе части равенства в степень:

Поскольку в биноме Ньютона :  каждый член, помимо члена  , помножен на некоторую натуральную степень числа , то    , поскольку - нечетное.

Таким образом, дает при делении на остаток или , то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2)

Очевидно, что ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что , тогда делится на , а значит дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и - нечетное, а значит - также нечетное.

, где  целое число

, где -целое число

Таким образом,  дает при делении на остаток   , но дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда:

Проверим

Решений в целых числах нет.

Проверим

То есть решение уравнения :

3)

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

Поскольку, число простое , то хотя бы один из членов или делится на 3

Необходимо заметить, что если делится , то , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

Обратное утверждение также верно, если делится на , то делится на 3.

делится на , а поскольку

и -взаимнопростые, то делится на  3

Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы   делилось на

, где - целое число.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

, где - целое число (может быть равно 0)

Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!