В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
сойдет2
сойдет2
05.03.2021 03:49 •  Алгебра

Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

Показать ответ
Ответ:
Andreyp2881
Andreyp2881
15.10.2020 15:58

1)

нет решений

2)

\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.

3)

y=3k-1\\x=3k(5k-2) , где k - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

1)

x^2 =2003y-1\\

Очевидно, что  x\neq 0 ; y0

Заметим, что число 2003 - простое ( сначала будет считать, что x0, в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

x^{2002} = 2003k+1  ( дает при делении на 2003 остаток 1 )

x^2 = 2003y-1

Возведем обе части равенства в 1001 степень:

(x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\

Поскольку в биноме Ньютона : (2003y-1)^{1001}  каждый член, помимо члена  (-1)^{1001}, помножен на некоторую натуральную степень числа 2003, то  (2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1  , поскольку 1001 - нечетное.

Таким образом, x^{2002} дает при делении на 2003 остаток -1 или 2002, то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2)

2^x +1 =3y^2

Очевидно, что x\geq 0 ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что x\geq 2 , тогда 2^x делится на 4, а значит 2^x+1 дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и 3y^2 - нечетное, а значит y - также нечетное.

y=2k-1 , где k  целое число

3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3 , где n-целое число

Таким образом, 3y^2  дает при делении на 4 остаток  3 , но 2^x+1 дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: 0\leq x\leq 1

Проверим x=0

2^0+1=3y^2\\2=3y^2

Решений в целых числах нет.

Проверим x=1

2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1

То есть решение уравнения :

\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.

3)

3x=5y^2+4y-1

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

5y^2+4y-1 = 0

D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)

Поскольку, число 3 простое , то хотя бы один из членов y+1 или 5y-1 делится на 3

Необходимо заметить, что если y+1 делится 3 , то 5(y+1) =5y+5 , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

Обратное утверждение также верно, если 5y-1 делится на 3 , то 5y-1+6 делится на 3.

5y+5= 5(y+1) делится на 3, а поскольку

5 и 3 -взаимнопростые, то y+1 делится на  3

Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы  y+1 делилось на 3

y=3k-1 , где k - целое число.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

y=3k-1\\x=(y+1)(5y-1)\\x=\frac{3k(5(3k-1)-1)}{3} = k(15k-6) =3k(5k-2), где k- целое число (может быть равно 0)

Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота