Алгебра: Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Показать ответ

Ответ:

dubonosova37

15.10.2020 14:59

$\sin2x=\sqrt{2} |\cos x|$

1. Раскроем модуль при условии $\cos x\geq 0$ :

$\sin2x=\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x-\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x-\sqrt{2}) =0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x-\sqrt{2} =0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ \sin x=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array}\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

2. Раскроем модуль при условии $\cos x$ :

$\sin2x=-\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x+\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x+\sqrt{2} )=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x+\sqrt{2} =0\end{array}$

Заметим, что первое уравнение не удовлетворят условию раскрытия модуля. Продолжаем решать только второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$\left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ этого случая:

$x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$

3. Объединим решения, полученные в предыдущих пунктах:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n\\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Или более кратко:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

ответ: $\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \dfrac{\pi }{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

partybally

15.05.2021 10:06

Дві паралельні площини перетинають сторону OA кута AOB в точ- ках A1 і A2, а сторону OB — в точках B1 і B2 відповідно. Знайдіть: а) A1B1, якщо A2B2 = 24 см, OA A A...

ArtemPatsaliuk

01.01.2020 10:00

Өтінемің жауабы жазынышы...

6Анна111111111111111

21.07.2020 13:45

Контрольная работа по теме свойства квадратного корня...

ника3931

28.08.2021 20:06

Дана функция y=f(x), где f(x)=3x. Найди f(−7) (ответ округли до сотых). ответ: f(−7)=...

NastyaZayatc12

09.02.2020 06:00

решить Я вам ещё прикрепила образец как нужно решать я без вас не справлюсь заранее огромное...

ЕкатеринкA

21.06.2022 18:41

Два трактора израсходовали 93 литра топлива. Первый трактор работал в течение 5 часов и расходовал на 1 литр в час больше, чем второй. Второй трактор работал 6 часов....

lenasinyikovich

31.07.2022 09:23

При каком значении а и б прямая ах+бу-2=0 проходит через точки M(-1; 5) и N (2;-4)...

Ксения0112387

06.03.2023 16:10

Найдите корень уравнения 1/7x+2=1/3x-6...

Nymeria

06.03.2023 16:10

Найдите корень уравнения : 5/9x=-1 целая 2/3...

IgroNUB

25.03.2023 02:13

Одна з діагоналей ромба дорівнює...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку