Корни квадратные существуют, когда подкоренные выражения в первом неотрицательные, во втором корне положительные, значит, ОДЗ уравнения - все значения, при которых х²-2х-1 >0, корнем левой части являются числа 1-√2 и 1+√2, которые разбивают область определения на три промежутка, в обл. определения попадают те, для которых подкоренное выражение строго больше нуля. Согласно методу интервалов , устанавливаем знаки, и выбираем те из них интервалы, которые дают положительный ответ,
это х∈(-∞;1-√2)∪(1+√2;+∞)
Пусть √(х²-2х-1)=в больше нуля, тогда
в=14/в-5; в²+5в-14=0
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней -5, а произведение -14, это числа -7, но этот корень не может быть ответом, поскольку отрицательный, и число 2. Возвратимся к иксу.
√(х²-2х-1)=2, возведем обе части уравнения в квадрат, помня, что при этом могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательно необходимо проверить полученные корни.
ответ: x = 1 ± √6.
Объяснение:
Дополнение к решению: проверка.
Подставим найденные корни в уравнение
Корни квадратные существуют, когда подкоренные выражения в первом неотрицательные, во втором корне положительные, значит, ОДЗ уравнения - все значения, при которых х²-2х-1 >0, корнем левой части являются числа 1-√2 и 1+√2, которые разбивают область определения на три промежутка, в обл. определения попадают те, для которых подкоренное выражение строго больше нуля. Согласно методу интервалов , устанавливаем знаки, и выбираем те из них интервалы, которые дают положительный ответ,
это х∈(-∞;1-√2)∪(1+√2;+∞)
Пусть √(х²-2х-1)=в больше нуля, тогда
в=14/в-5; в²+5в-14=0
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней -5, а произведение -14, это числа -7, но этот корень не может быть ответом, поскольку отрицательный, и число 2. Возвратимся к иксу.
√(х²-2х-1)=2, возведем обе части уравнения в квадрат, помня, что при этом могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательно необходимо проверить полученные корни.
х²-2х-1=4, х²-2х-5=0
х₁,₂=1±√6
Проверка. √((1+√6)²-2*(1+√6)-1)=√(1+2√6+6-2-2√6-1)=√4=2
Значит, левая часть равна двум, правая 14/2-5=2, указанный корень является корнем исходного уравнения, проверим второй корень.
Правая часть √((1-√6)²-2*(1-√6)-1)=√(1-2√6+6-2+2√6-1)=√4=2
Левая часть 14/2-5=2
Проверкой убедились, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
ответ. 1±√6