Войти Регистрация Спроси ai-bota

$sin^8(x)+cos^8(x)=\frac{17}{16}cos^2(2x);$ решить это уравнение. ответ: $\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n, n Є Z;$

Показать ответ

Ответ:

Никейти

15.10.2020 15:38

$\sin^{8}x + \cos^{8}x = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x$

$(\sin^{2}x)^{4} + (\cos^{2}x)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x$

$\left(\dfrac{1 - \cos 2x}{2} \right)^{4} + \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2} \right)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x \ \ \ | \cdot 16$

$(1 - \cos 2x)^{4} + (1 + \cos 2x)^{4} = 17 \cos^{2}2x$

$(1) \ (1 - \cos 2x)^{4} = 1 - 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x - 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x\\(2) \ (1 + \cos 2x)^{4} = 1 + 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x + 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x$

Складываем (1) и (2) выражения и получаем:

$2 + 12 \cos^{2} 2x + 2\cos^{4}2x = 17\cos^{2}2x$

$2\cos^{4}2x - 5\cos^{2}2x + 2 = 0$

Замена: $\cos^{2} 2x = t, \ t \in [0; \ 1]$

Характеристическое уравнение:

$2t^{2} - 5t + 2 = 0$

$D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2 1$ — не удовлетворяет условию

$t_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$

Обратная замена:

$\cos^{2} 2x = \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \sqrt{\dfrac{1}{2} } \ \ } \atop {\cos 2x = -\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \ \ (1) } \atop {\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ (2)} \right.$

Решим (1) уравнение:

$\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z$

Решим (2) уравнение:

$\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm \arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \left(\pi - \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \left(\pi - \dfrac{\pi}{4} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \pm \dfrac{3\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z$

Изобразим полученные ответы на единичной окружности и найдем общее решение.

Из рисунка видим, что через каждые $\dfrac{\pi}{4}$ получаем ответ.

Таким образом, общий ответ:

$x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z$

ответ: $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z$

решить это уравнение. ответ:

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

СвежийГусь

28.04.2023 09:28

Выражение√7a−√28a+√252a объясните решение. напишите решение и ответ....

TheAgentSquid

07.04.2021 22:09

Корень из 5 243 - корень из 6 дробь 1 64 вычислить...

2006marusya

07.04.2021 22:09

Смесь чая состоит из 2 частей зеленого,4 частей чёрного и 1 части цветочного.сколько кг чёрного чая необходимо взять для приготовления 196 кг чайной смеси....

Alishka1112

11.12.2022 00:23

2x^2-5x+4 0 (3x-8)^2-(4x-6)^2+(5x-2)(5x+2) 96 2x+3/5 - x^2-4/8 (неравество с чертой)-1...

кор17

16.11.2021 21:07

Премиальный фонд 16250 надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. сколько полусит каждый?...

basirovdanil

22.06.2022 18:39

Можно з рохвязком якщо треба дякую...

СофаСтар2

04.09.2021 18:34

Какие из точек принадлежат графику функции у=корень из х а(49; 7),в( -100; 10)...

Danelpos

20.12.2022 08:18

1)найдите значения выражения при указанных значениях переменных при a=0,04 и c=0,64 2) выражение 3)выполните сложение дробей если y≠7 4)решите неравенства 2x-3(x+1) 2+x...

Eгор43

20.12.2022 08:18

Велосипедист проезжает на велосипеде 5 км за 15 минут. вопрос: какую среднюю скорость имеет велосипедист?...

makeevaed

20.12.2022 08:18

2x в квадрате+6x-4.5=0 и сразу 4x в квадрате-20x+25=0...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку