1. ОДЗ: х ∈ R
2. Функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. х = 0 ⇒ у = 6
ось 0х не пересекает
4. Асимптот нет
5. Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]
Функция возрастает на промежутке [-5/4; +∞)
6. Функция вогнута.
Объяснение:
Требуется исследовать функцию и построить график.
y = 2x² + 5x + 6
2. Четность, нечетность.
Если f(-x) = f(x), функция четная.
Если f(-x) = -f(x), функция нечетная.
у(-х) = 2 · (-х)² + 5 · (-х) + 6 = 2х² - 5х + 6
у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. Пересечение с осями:
1) х = 0 ⇒ у = 6.
Ось 0у график пересекает в точке (0; 6)
2) у = 0 ⇒ 2х² + 5х + 6 = 0
D = 25 - 4 ·2 · 6 = - 23 <0
⇒ корней нет, ось 0х не пересекает.
4. Асимптоты.
Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
y' = 2 · 2x + 5 = 4x + 5
Приравняем к нулю и найдем корни:
4х + 5 = 0
Отметим точку на числовой оси и определим знак производной на промежутках:
⇒ Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]
Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум.
⇒ координаты точки минимума (-5/4; 2 7/8)
6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Найдем производную второго порядка:
y'' > 0
Если вторая производная больше нуля, то функция вогнута.
Точек перегиба нет.
Строим график.
Домножим и разделим первое слагаемое на 2²-1, получим
1
* ( (2²-1)(2²+1)*(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3 *2¹²⁸ =
2²-1
=1/3*( (2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )- 1/3*2¹²⁸=
=1/3*( (2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ =
=1/3*( (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)(2²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2²⁸ =
=1/3*( (2³²-1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3*2²⁸= 1/3( (2⁶⁴-1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ =
=1/3*( 2¹²⁸-1)-1/3*2¹²⁸= 1/3*2¹²⁸ - 1/3 - 1/3*2¹²⁸ = -1/3
1. ОДЗ: х ∈ R
2. Функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. х = 0 ⇒ у = 6
ось 0х не пересекает
4. Асимптот нет
5. Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]
Функция возрастает на промежутке [-5/4; +∞)
6. Функция вогнута.
Объяснение:
Требуется исследовать функцию и построить график.
y = 2x² + 5x + 6
1. ОДЗ: х ∈ R
2. Четность, нечетность.
Если f(-x) = f(x), функция четная.
Если f(-x) = -f(x), функция нечетная.
у(-х) = 2 · (-х)² + 5 · (-х) + 6 = 2х² - 5х + 6
у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.
3. Пересечение с осями:
1) х = 0 ⇒ у = 6.
Ось 0у график пересекает в точке (0; 6)
2) у = 0 ⇒ 2х² + 5х + 6 = 0
D = 25 - 4 ·2 · 6 = - 23 <0
⇒ корней нет, ось 0х не пересекает.
4. Асимптоты.
Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
y' = 2 · 2x + 5 = 4x + 5
Приравняем к нулю и найдем корни:
4х + 5 = 0
Отметим точку на числовой оси и определим знак производной на промежутках:
⇒ Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]
Функция возрастает на промежутке [-5/4; +∞)
Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум.
⇒ координаты точки минимума (-5/4; 2 7/8)
6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Найдем производную второго порядка:
y'' > 0
Если вторая производная больше нуля, то функция вогнута.
Точек перегиба нет.
Строим график.
Домножим и разделим первое слагаемое на 2²-1, получим
1
* ( (2²-1)(2²+1)*(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3 *2¹²⁸ =
2²-1
=1/3*( (2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )- 1/3*2¹²⁸=
=1/3*( (2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ =
=1/3*( (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)(2²+1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2²⁸ =
=1/3*( (2³²-1)(2³²+1)(2⁶⁴+1) ) -1/3*2²⁸= 1/3( (2⁶⁴-1)(2⁶⁴+1) )-1/3*2¹²⁸ =
=1/3*( 2¹²⁸-1)-1/3*2¹²⁸= 1/3*2¹²⁸ - 1/3 - 1/3*2¹²⁸ = -1/3