Пусть n - наименьшее натуральное число, которое дает различные остатки от деления на 2,4,…,2014. какой остаток число n дает при делении на 2014?

Положим что наше число четное , то есть  , тогда 
  то есть остаток от деления на  равен , для второго  , и очевидно либо число делится, либо остаток равен  , то есть запишем  все формально 
 , так как остатки различные , а остатки при делений числа  равны  , но в первом так же равна  , отсюда и остаток  .
Далее 
, где  остаток ,положим что он равен  , тогда переходим к уравнению  
  , но число  ,  то есть такой остаток не возможен , положим что он равен  
  видно что такие числа  существуют. 
Теперь видим зависимость что остатки будут первым  четными числами 
 
ответ  

таким наименьшим числом может быть 7  .Оно не будет делиться без остатка на 2 , З, 4, 5, 6. При делении на 5 этого числа в остатке будет 2