Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = 4t – 3, где s – путь, пройденный за время t. Найдите мгновенную скорость этой точки в момент времени t.
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[10].
Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].
После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и при в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение {\displaystyle x^{3}+ax+b=0}x^{3}+ax+b=0. Отдельные задачи решались с конических сечений[14].
Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.P=C102⋅C83C185=45⋅568568=517=0.294.
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.P=C52⋅C50C102=10⋅145=29=0.222.
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
A=A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2A=A1+A2, где
A1=A1= (Выбраны 2 белых шара),
Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[10].
Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].
После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и при в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение {\displaystyle x^{3}+ax+b=0}x^{3}+ax+b=0. Отдельные задачи решались с конических сечений[14].
Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].