прогресія
Як лисиця та вовк рибу дiлили. Вкрали лисиця з вовком риби багатенько, та й давай дiлитись.
— Я не дуже тямущий у математицi, — каже вовк, — дiли ти, але так, щоб порiвну.
— Ось тобi одна рибка, а менi двi, — каже лисичка.
— Чи не замало?! — стривожився вовк.
— Та нi, — каже лисичка, — слухай далi. Ось тобi три рибки...
— Так можна, — заспокоївся вовк.
— Менi 4, а тобi 5, менi 6, а тобi 7...
Так дiлила лисичка рибку, щоразу збiльшуючи на одну рибину. Наостанку вона кинула собi 20 рибин i на цьому риба закiнчилась. Вовк подумав, що лисиця чесно подiлила. А ти як гадаєш, у кого бiльше риби i на скiльки?
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.