Пример 1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма второго и восьмого членов прогрессии равна 19, а произведение седьмого и третьего равно 48.​

Пусть искомое число x, тогда x = 22*p + 14  и  x = 17*q + 9;  p и q  неотрицательные целые числа.
22*p + 14 = 17*q + 9 ;
22*p - 17*q + 5 = 0; решаем последнее ур-е, как ур-е в целых числах, частным решение является (-1; -1)
22*(-1) - 17*(-1) +5 = 0; вычитаем последние 2 равенства:
22*(p+1) - 17*(q+1) = 0;
22*(p+1) = 17*(q+1);
т.к. 22 и 17 взаимно просты, то (q+1) делится нацело на 22, а (p+1) делится нацело на 17;
q+1 = 22*A;   p+1 = 17*B;
22*17B = 17*22*A; A=B = t;
q= 22*t - 1;
p= 17*t - 1;
Наименьшее неотрицателные значения p и q , достигаются при t=1;
q=21;
p=16;
x = 22*16 + 14=366;
x = 17*21+ 9=366;


Пусть это чилос х.
Тогад по первому условию:
х=13k+10, где k - какое то натуральное число, 
и по второму условию:
х=8l+2,  где l - какое то натуральное число.
Для начала сделаем оценку:
х<1000
13k+10<1000
13k<990
k<77
Теперь приравниваем те два равентва:
13k+10=8l+2
13k+8=8l
13k=8(l-1)
Правая часть равенства делится на 8, значит, и левая тоже. Т.к. 13 не кратно 8, то k делится на 8.
Самое большое число k<77 и кратное 8, это k=72
Подставляем в равентсво и получаем, что х=946
Проверкой убеждаемся, что оно подходит.

Пусть x деталей/ч -- проивзодительность певой бригады, тогда (x-4) -производительность второй бригады.=>
144/(x-4) - 120/x = 3;
48/(x-4) - 40/x = 1; 48x - 40(x-4) = x(x-4);
x^2 - 12x - 160 = 0;
x = 6 + sqrt (36+160) = 6 + 14 = 20 (деталей/ч) -- производительность первой бригады; (отрицательный корень отбрасываем),
тогда производительность второй бригады равна 20-4 = 16 (деталей/ч).
(Проверяем: первая бригада работала 120/20=6 часов, вторая -- 144/16=9 часов, т. е. на три часа дольше первой -- всё сходится).
ОТВЕТ: производительность первой бригады 20 деталей/ч; второй бригады -- 16 деталей/ч