Приехав на остров, путешественник сказал: «У каждого жителя острова не больше 3 братьев». Однако оказалось, что он ошибся. Какое из утверждений обязательно верное? А) У всех жителей острова больше 3 братьев.
Б) Есть житель острова, у которого ровно 3 брата.
В) Есть житель, у которого не меньше 3 братьев.
Г) У какого-то жителя острова больше 3 братьев.
Д) Не у всех жителей острова меньше 3 братьев.
К графику функции y = f(x) = x² - 4x из точки А(3;-19) проведены касательные. Напишите уравнения этих касательных.
Объяснение:
! ! А(3; - 19) ∉ к графику функции y = x² - 4x 3² -4*3 = -3 ≠ -19
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке
(x₀ ; y₀) имеет вид :
y = f (x₀) +f ' (x₀) (x - x₀)
f (x₀) = x₀² - 4x₀
f '(x) = (x² - 4x ) ' = 2x - 4 ⇒ f '(x₀) = 2x₀ - 4 =2(
y = x₀² - 4x₀ +(2x₀ - 4 )( x- x₀ ) = x₀² - 4x₀ +(2x₀ - 4)* x - 2x₀² + 4x₀
y = (2x₀ - 4) )* x - x₀². * * * k = 2x₀ - 4 ; b = - x₀² * * *
Касательные проведены из точки А(3;-19) ,следовательно :
- 19 = 2(x₀ - 2 )*3 - x₀² ⇔ x₀²- 6x₀ - 7 = 0 _ квадратное уравнение относительно x₀. * * * x₀ = 3 ± √( (3² -(-7) ) ⇔ x₀ = 3 ± 4 * * *
или x₀ = - 1 ; x₀ =7 по теореме Виета .
или x₀²- 6x₀ - 7 = 0 ⇔ x₀²- 7x₀ + x₀ - 7=0 ⇔x₀(x₀ -7)+ (x₀ - 7) =0 ⇔
(x₀ +1) (x₀ - 7) =0 ⇒ x₀ = - 1 ; x₀ = 7 .
Уравнение касательной будет :
а ) y = (2*(-1) - 4 )*x - (-1)² = - 6x - 1 ; T₁ (-1 ; 5)
б) y = (2*7 - 4 )* x - 7² = 10x - 49 ; T₂(7; 21) .
y = - 6x - 1, y = 10x - 49 .
* * * T₁ (-1 ; 5) и T₂(7; 21) точки касания * * *
Чтобы результат был наименьший он должен быть отрицательный. В данном случае он должен содержать 1 или 3 отрицательных множителя.
Выберем первый отрицательный множитель - в качестве него возьмем наименьшее, то есть максимальное по модулю отрицательное число - это число -5.
Далее, мы возьмем в произведение или еще два минимальных отрицательных числа или два максимальных положительных числа. Минимальные отрицательные числа (и к тому единственные оставшиеся) - числа (-3) и (-1) в произведении дают 3. Максимальные положительные числа - числа 6 и 4 в произведении дают 24. Выгоднее брать положительные числа.
Итак, необходимо выбрать числа -5, 6 и 4.
Их произведение (-5)·6·4=-120
ответ: -120