.(При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей. внимание, это !).

Пусть х1, х2 -корни данного квадратного уравнения, тогда

по теореме Виета

x1+x2=a

x1x2=a-1

(x1)^2+(x2)^2=(x1+x2)^2-2x1x2

(x1)^2+(x2)^2=a^2-2(a-1)=a^2-2a+2=(a-1)^2+1

(a-1)^2>=0, причем достигает наименьшего значения когда а-1=0, т.е при а=1

а значит сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей при а=1

Согласно теореме Виета

Х1 + Х2 = А

Х1 * Х2 = А - 1

Тогда

Х1² + Х2² = Х1² + 2 * Х1 * Х2 + Х2² - 2 * Х1 * Х2 = (Х1 + Х2)² - 2 * Х1 * Х2 =

А² - 2 * (А - 1) = А² - 2 * А + 2 = (А - 1)² + 1

Итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при А = 1 и равна 1

Проверка. 

При  А = 1  уравнение принимает вид  Х² - Х = 0  Его корни  Х1 = 0  и  Х2 = 1