При изготовлении подшипников диаметром 62 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,03 мм, равна 0,876. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 63,99 мм, или больше, чем 62,03 мм.

1) a+b+c=0 => a+b=-c => (a+b)³=(-c)³ => a³+3a²b+3ab²+b³=-c³ =>
=> a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) =>
=> a³+b³+c³=3abc
2) Обратное утверждение:
Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов).
Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0.
Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным.
Найдем другие два варианта для c.
Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки:
c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²).
Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c:
D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0
c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица.
Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a.
Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2.
А возможные варианты для суммы станут такими:
a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
или
a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2

Логарифм единицы.loga1=0         Логарифм единицы равен нулю ( а>0, a≠1).Примеры. Вычислить:1) log71=0,                                2) lg1=0,                                     3) ln1=0,так как  70=1.                            так как 100=1.                             так как е0=1.4) 52log51=52∙0=50=1.            5) 43lg1=43∙0=40=1.          6) 85ln1=85∙0=80=1. e3+5lg1=e3+5∙0=e3. 106ln1-2=106∙0-2=10-2=0,01. 35lg1+4=35∙0+4=34=81.Решить уравнение.1) log2(x+4)=log81;                        2) log3(x-1)+5log181=log12(5∙0,2);log2(x+4)=0;                                         log3(x-1)+5∙0=log121;x+4=20;                                                log3(x-1)=0;x+4=1;                                                  x-1=30;x=1-4;                                                   x-1=1;x=-3.                                                     x=2.3) lg (2x+1) -7log21=ln1;lg (2x+1) -7∙0=0;lg (2x+1)=0;2x+1=100;2x+1=1;2x=0;x=0.11.4.4. Натуральный логарифмЛогарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.ln7=loge7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.Примеры.Вычислить, используя определение логарифма.1) lne².  По определению натуральный логарифм числа e² — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2. lne²=2.2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число -1, так как е-1=1/е.ln (1/e)=-1.3) lne3+lne4=3+4=7.4) lne-ln (1/e2)=1- (-2)=1+2=3.Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: и формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m .1)    eln24=24.2)    e2ln11=(eln11)2=112=121.3)    e-ln20=(eln20)-1=20-1=1/20=0,05.4)    (e4)ln5=(eln5)4=54=625.Упростить, применив основное логарифмическое тождество: формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m ;формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n и формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.1)    eln4+2=eln4∙e2=4∙e2=4e2.2)    e1+ln3=e1∙eln3=e∙3=3e.3)    (e4+ln5)2=(e4∙eln5)2=(e4∙5)2=e4∙2∙52=e8∙25=25e8.4)    (eln2+3)4=(eln2∙e3)4=(2∙e3)4=24∙e3∙4=16e12.Упростить, применив основное логарифмическое тождество:  формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m ; формулу частного степеней с одинаковыми основаниями:  am:an=am-n  и формулу возведения в степень произведения: (a∙b)n=an∙bn.1)    e2-ln3=e2:eln3=e2:3=e2/3.2)    e1-ln5=e1:eln5=e:5=e/5=0,2e.3)    (e5-ln10)3=(e5:eln10)3=(e5:10)3=(0,1e5)3=0,13∙e5∙3=0,001e15.4)    (e3-ln2)4=(e3:eln2)4=(e3:2)4=(0,5e3)4=(0,5)4∙(e3)4=0,0625e12. 11.4.3. Десятичный логарифмЛогарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».lg7=log107,        lg7 – десятичный логарифм числа 7.Примеры. Вычислить:lg10; lg100; lg1000; lg0,1; lg0,01; lg0,001.1)    lg10=1,  так как 101=10.2)    lg100=2, так как102=100.3)    lg1000=3, так как 103=1000.4)    lg0,1=-1, так как 10-1=1/10=0,1.5)    lg0,01=-2, так как 10-2=1/102=1/100=0,01.6)    lg0,001=-3, так как 10-3=1/103=1/1000=0,001.Найти значение выражения: 10lg8;  10lg4+10lg3,5;  105lg2;  100lg3;  10lg5+2;  10lg60-1.Используем:основное логарифмическое тождество:(см. предыдущий урок 11.4.2. «Примеры на основное логарифмическое тождество»здесь)формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n,формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am— n1)    10lg8=82)    10lg4+10lg3,5=4+3,5=7,5.3)    105lg2=(10lg2)5=25=32.4)    100lg3=(102)lg3=(10lg3)2=32=9.5)    10lg5+2=10lg5∙102=5∙100=500.6)    10lg60-1=10lg60:101=60:10=6.Решить уравнение.1)    lgx=10lg30-1.Упростим правую часть равенства как в предыдущих примерах.lgx=10lg30:101;lgx=30:10;lgx=3;x=103;x=1000.2)    lg (x+3)=2.x+3=102;x+3=100;x=100-3;x=97.3)    lg (x+5)=-1.x+5=10-1;x+5=0,1;x=0,1-5;x=-4,9.11.4.2. Примеры на основное логарифмическое тождество Это основное логарифмическое тождество.Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.Примеры.Вычислить:  При решении  используем формулу возведения степени в степень: (am)n=amn=(an)m  и основное логарифмическое тождество.Найти значение выражения:  Используем формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и основное логарифмическое тождество.Найти значение выражения:Используем формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am— nи основное логарифмическое тождество.11.4.1. Определение логарифмаЛогарифмом числа b по основанию а (logab)  называют показатель степени, в которую нужно  возвести число а, чтобы получить число b.logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8;2) log5(1/25)=-2, т. к. 5-2=1/52=1/25;                         3) log71=0, т. к. 70=1. Вычислить:1)    log464+log525.  Используем значения степеней: 43=64, 52=25 и определение логарифма.log464+log525=3+2=5.2)    log2log381.        Используем значения степеней: 34=81, 22=4 и определение логарифма.log2log381=log24=2.3)    log5log9log2512.    Используем значения степеней: 29=512, 50=1 и определение логарифма.log5log9log2512=log5log99=log51=0.Решить уравнение.1)    log7x=2.          По определению логарифма составим равенство: x=72, отсюда х=49.2)    log3(x-5)=2.По определению логарифма:х-5=32;х-5=9;х=9+5;х=14.3)    |log6(x+4)|=2.Освободимся от знака модуля.или  log6(x+4) =2;x+4=62;x+4=36;x=36-4;x=32.