Алгебра: Преобразуйте выражения ctg(3p/2+a)ctg(p-a)+ctg(p/2+a)tg(p-a)

Преобразуйте выражения ctg(3p/2+a)ctg(p-a)+ctg(p/2+a)tg(p-a)

Показать ответ

Ответ:

Vilaan1972

13.03.2022 20:12

Используя формулу тангенса суммы аргументов получим:

так как по условию π < α < 3π/ 2, то −1<cosα<0 ⇒ cosα≠0,

мы можем умножить числитель и знаменатель дроби на cosα:

tg(α + π/4) = tg α + tg π/4 / 1 - tg α × tg π/4 = tg α + 1/1 - tg α × 1 = tg α + 1/1 - tg α = sin α/cos α + 1 / 1 - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α / cos α - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α - sin α

2. Используя основное тождество тригонометрии: sin²α + cos²α = 1 найдем cos α:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos α = √1 - sin²α

cos α = √1 - (-12/13)² = √1 - 144/169 = √25/169 = 5/13

3) И теперь находим tg(α + π/4) по нахождению про sin α и cos α:

tg(α + π/4) = tg α + tg π/4 / 1 - tg α × tg π/4 = tg α + 1/1 - tg α × 1 = tg α + 1/1 - tg α = sin α/cos α + 1 / 1 - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α / cos α - sin α/cos α = sin α + cos α/cos α - sin α = -12/13 + 5/13 / 5/13 - (-12/13) = -7/13 / 5/13 + 12/13 = -7/13 / 17/13 = -7/13 × 13/17 = -7/17

ответ: tg(α + π/4) = -7/17

0,0(0 оценок)

Ответ:

Дако031204

19.05.2021 15:46

Возможно, существует и другой метод доказательства, но я буду использовать метод от противного.

Итак, нужно доказать, что a=b=c , то есть

$\displaystyle \left \{ {{a=b} \atop {b=c}} \right. \Rightarrow a=b=c$

Перепишем наше равенство, переместив все в левую часть:

a^2+b^2+c^2-ac-bc-ac=0

1) Предположим, что $a \neq b$ (при этом подразумевая, что b=c )

Тогда получаем следующее:

$b=c \Rightarrow b^2=c^2; bc=c\cdot c=c^2$

$a^2+c^2+c^2-ab-c^2-ac=0 \Rightarrow a^2+c^2-ab-ac=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow a^2+c^2-a(b+c)=0 \Rightarrow a^2+c^2=a(b+c) \Rightarrow a^2+b^2=2ac$

Далее смотрим: слева неотрицательное выражение всегда, а справа может быть и отрицательное, но у нас по условию дано, что для любых действительных чисел равенство выполняется, а здесь это далеко не так (на языке математики запись такая: $\exists (a;c): ac$ )

Возможно, это не очень явно, поэтому вспомним, что по предположению b=c , и доделаем:

$a^2+b^2=2ac \Rightarrow a^2+b^2=2ab \Rightarrow a^2-2ab+b^2=0 \Rightarrow (a-b)^2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow a=b$

А это прямо яркий пример противоречия: предположив, что $a\neq b$ , мы получили a=b .

Из этого следует, что a=b , но и из предположенного же b=c уже следует, что a=b=c .

Вообще, по идее, этого уже достаточно, ну на всякий случай посмотрим ещё:

2) Предположим, что $b \neq c$ (при этом a=b )

$a=b \Rightarrow a^2=b^2; ab=a\cdot a = a^2$

$b^2+b^2+c^2-b^2-bc-ac=0 \Rightarrow b^2+c^2-bc-ac=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow b^2+c^2=c(a+b) \Rightarrow b^2+c^2=2bc \Rightarrow b^2-2bc+c^2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (b-c)^2=0 \Rightarrow b=c$