х ≠ 0 , но этот разрыв производной нас не интересует, поскольку мы ищем наибольшее значение в интервале [1; 16]
y' = 0
(27 - 3x) = 0
Точка экстремума одна x = 9.
При х < 9 y' > 0; при х > 9 y' < 0. Следовательно, точка х = 9 - точка максимума. И на концах интервала при непрерывной производной в заданном интервале значения функции будут меньше её значения в точке локального максимума.
Для решения этих заданий нужно знать:
1) формулы сокращенного умножения: (а ± b)² = а² ± 2аb + b²,
а² - b² = (а - b)(а + b), а³ - b³ = (а - b)(а² + аb + b²);
2) уметь раскладывать многочлены на множители:
- вынесением за скобки общего множителя;
- используя формулы сокращенного умножения;
- используя группировки.
1) 25 - 12x + (x - 5)(x + 5) - (5 - x)² = 25 - 12х + х² - 5² - (5² - 2 · 5 · х + х²) =
= 25 - 12х + х² - 25 - 25 + 10х - х² = -2х - 25;
2)
а) 2ab - 3a = а(2b - 3);
б) 6x⁶ + 8x² = 2x²(3x⁴ + 4);
в) 1/4a² - 81 = (1/2a)² - 9² = (1/2a - 9)(1/2a + 9);
г) x² - 12x + 36 = x² - 2 · x · 6 + 6² = (x - 6)².
3) y(x + 0,2) - 2,7(x + 0,2) = (x + 0,2)(у - 2,7);
при x = 1,8, y = 16,7 (x + 0,2)(у - 2,7) = (1,8 + 0,2)(16,7 - 2,7) = 2 · 14 = 28;
4)
а) 3x² + 12xy + 12y² = 3(х² + 4ху + 4у²) = 3(х² + 2 · х · 2у + (2у)²) =
= 3(х + 2у)² ;
б) 8a(b - 3) + c(3 - b) = 8а(b - 3) - с(b - 3) = (b - 3)(8а - с);
в) x² + 3x - 2xy - 6y = х(х + 3) - 2у(х + 3) = (х + 3)(х - 2у);
5) (x - 1)(x² + x + 1) - x²(x - 1) = 0,
х³ - 1 - х³ + х² = 0,
х² - 1 = 0,
(х - 1)(х + 1) = 0,
х - 1 = 0 или х + 1 = 0
х = 1 х = -1
ответ: -1; 1.
y наиб = у max = 54
Объяснение:
Дана функция y= (27 - x) · √x
Производная этой функции
Упростим это выражение
х ≠ 0 , но этот разрыв производной нас не интересует, поскольку мы ищем наибольшее значение в интервале [1; 16]
y' = 0
(27 - 3x) = 0
Точка экстремума одна x = 9.
При х < 9 y' > 0; при х > 9 y' < 0. Следовательно, точка х = 9 - точка максимума. И на концах интервала при непрерывной производной в заданном интервале значения функции будут меньше её значения в точке локального максимума.
у наиб = у max = y(9) = (27 - 9) · √ 9 = 54