f(x)= 2x+3 ∛x² Найдите: а) Критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1] б) Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1] --- a) Критическая точка функции это значение аргумента при котором производная функции равно нулю или не существует. f'(x) = 2 +3*(2/3) x ^(-1/3) =2 +2/∛x =2(∛x +1) / ∛x f'(x) =0 ⇔ ∛x +1 = 0 ⇔∛x = -1 ⇒ x = -1 и ∛x = 0 ⇒ x = 0 , где производная функции не существует. * * * -1 и 0 ∈ [ -8 ;1] . * * * ответ : -1 ; 0 . б) f'(x) + - + [-1 ] 0 f(x) (возр) ↑ max (убыв) ↓ min (возр) ↑
max f(x) =f(-1) =2*(-1) +3∛(-1)² = -2+3 =1. min f(x) = f(0) =2*(0) +3∛(0)² = 0. ответ : 1 ; 0 .
3) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =x^5+ 2x^3+3x-11 на отрезке [-1;1] --- f ' (x) =(x⁵ + 2x³ +3x - 11 ) ' =5x⁴+6x² +3 >0 функция возрастающая при всех x ∈( -∞ : ∞) . min f(x) = f(-1) =(-1)⁵ + 2*(-1)³ +3*(-1) - 11 = -1 -2 -3 -11 = -17. max f(x) = f(1) =1⁵ + 2*1³ +3*1 - 11 = - 5. ответ : -17 ; - 5 .
4) Дана функция f(x) = x^3+3x^2+3x+a. Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] равно 6.
f(x) = x³+3x²+3x+a ; f '(x) = 3x²+6x+3 =3(x² +2x+1) =3(x+1)² ≥ 0 →функция везде возрастает min f(x) = f(-2) = (-2)³ +3*(-2)² +3*(-2) +a = -8 +12 -6 +a = a - 4 . По условию min f(x) = 6 a - 4 =6 ⇔a =4+6
Не нужно раскрывать знак модуля. Строим поэтапно: 1)у = х + 3 - прямая 2)у = |x + 3|- отражаем часть графика, расположенную ниже оси Ох симметрично оси ох . 3)у= - |x + 3|- отражаем весь график y = |x + 3| симметрично относительно оси Ох. 4)у=1-|x+3| параллельный перенос графика у= - |x + 3| на 1 единицу вверх. 5)у=| 1 - | x + 3 || - часть графика у=1-|x+3| расположенную ниже оси Ох отражаем симметрично относительно оси ох вверх.
Раскрываем модуль Если х+3≥0, то |x+3|=x+3 Это и означает, что при х≥-3 строим график у=х+3 Если х+3 < 0, то |x+3|=-(x+3) Это означает, что при х < -3 строим график у=-х-3 ( отражаем симметрично оси Ох часть графика у=х+3 расположенную ниже оси Ох) Если 1-|x+3|≥0, то есть |x+3| ≤ 1 или -1 ≤ х+3 ≤ 1 или -4 ≤x ≤ -2 |1-|x+3||=1-|x+3| Это означает, что на [-4;-2] строим график у=1-|x+3|, который в свою очередь состоит из двух участков На [-4;-3) |x+3|=-x-3 поэтому у=1+х+3=х+4 На [-3;-2] |x+3|=x+3 у=1-х-3=-х-2
Если 1-|x+3|< 0, то есть опять два случая |x+3| > 1 или х+3>1 у=-1+|x+3| На (-∞;-4) |x+3|=-x-3, поэтому у=-1-х-3=-х-4 На (-2;+∞) |x+3|=x+3, поэтому у=-1+х+3=х+2 О т в е т. {-x-4, если х < - 4; {x+4, если -4≤х<-3; |1-|x+3||= {-х-2, если -3≤x≤-2; { x+2, если x>-2 cм. рис. 5
2)
f(x)= 2x+3 ∛x²
Найдите:
а) Критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]
б) Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1]
---
a)
Критическая точка функции это значение аргумента при котором производная функции равно нулю или не существует.
f'(x) = 2 +3*(2/3) x ^(-1/3) =2 +2/∛x =2(∛x +1) / ∛x
f'(x) =0 ⇔ ∛x +1 = 0 ⇔∛x = -1 ⇒ x = -1
и
∛x = 0 ⇒ x = 0 , где производная функции не существует.
* * * -1 и 0 ∈ [ -8 ;1] . * * *
ответ : -1 ; 0 .
б)
f'(x) + - +
[-1 ] 0
f(x) (возр) ↑ max (убыв) ↓ min (возр) ↑
max f(x) =f(-1) =2*(-1) +3∛(-1)² = -2+3 =1.
min f(x) = f(0) =2*(0) +3∛(0)² = 0.
ответ : 1 ; 0 .
3)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) =x^5+ 2x^3+3x-11 на отрезке [-1;1]
---
f ' (x) =(x⁵ + 2x³ +3x - 11 ) ' =5x⁴+6x² +3 >0 функция возрастающая при всех x ∈( -∞ : ∞) .
min f(x) = f(-1) =(-1)⁵ + 2*(-1)³ +3*(-1) - 11 = -1 -2 -3 -11 = -17.
max f(x) = f(1) =1⁵ + 2*1³ +3*1 - 11 = - 5.
ответ : -17 ; - 5 .
4)
Дана функция f(x) = x^3+3x^2+3x+a. Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] равно 6.
f(x) = x³+3x²+3x+a ;
f '(x) = 3x²+6x+3 =3(x² +2x+1) =3(x+1)² ≥ 0 →функция везде возрастает
min f(x) = f(-2) = (-2)³ +3*(-2)² +3*(-2) +a = -8 +12 -6 +a = a - 4 .
По условию min f(x) = 6
a - 4 =6 ⇔a =4+6
ответ: 10 .
Удачи !
Строим поэтапно:
1)у = х + 3 - прямая
2)у = |x + 3|- отражаем часть графика, расположенную ниже оси Ох симметрично оси ох .
3)у= - |x + 3|- отражаем весь график y = |x + 3| симметрично относительно оси Ох.
4)у=1-|x+3| параллельный перенос графика у= - |x + 3| на 1 единицу вверх.
5)у=| 1 - | x + 3 || - часть графика у=1-|x+3| расположенную ниже оси Ох отражаем симметрично относительно оси ох вверх.
Раскрываем модуль
Если х+3≥0, то |x+3|=x+3
Это и означает, что при х≥-3 строим график у=х+3
Если х+3 < 0, то |x+3|=-(x+3)
Это означает, что при х < -3 строим график у=-х-3 ( отражаем симметрично оси Ох часть графика у=х+3 расположенную ниже оси Ох)
Если 1-|x+3|≥0, то есть |x+3| ≤ 1 или -1 ≤ х+3 ≤ 1 или -4 ≤x ≤ -2
|1-|x+3||=1-|x+3|
Это означает, что на [-4;-2] строим график у=1-|x+3|, который в свою очередь состоит из двух участков
На [-4;-3) |x+3|=-x-3 поэтому у=1+х+3=х+4
На [-3;-2] |x+3|=x+3 у=1-х-3=-х-2
Если 1-|x+3|< 0, то есть опять два случая
|x+3| > 1 или х+3>1
у=-1+|x+3|
На (-∞;-4) |x+3|=-x-3, поэтому у=-1-х-3=-х-4
На (-2;+∞) |x+3|=x+3, поэтому у=-1+х+3=х+2
О т в е т.
{-x-4, если х < - 4;
{x+4, если -4≤х<-3;
|1-|x+3||= {-х-2, если -3≤x≤-2;
{ x+2, если x>-2
cм. рис. 5