1) Производная функции f(x)=4x-sinx+1 равна f'(x) = 4 - cos(x). Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны: f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1 f'(x) = 4 - 1 = 3 Тогда уравнение касательной: Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна: f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2. Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе. Для этого находим критические точки: x^2 - 2x - 8 = 0 Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4; x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2. Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.
В решении.
Объяснение:
1. Дана функция у = 6х² + 4х - 10.
График функции - парабола со смещённым центром, ветви параболы направлены вверх.
Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить значения у, записать в таблицу.
Таблица:
х -2 -1 0 1 2
у 6 -8 -10 0 22
а) определить координаты вершины параболы.
Формула:
х₀ = -b/2a
x₀ = -4/12
x₀ = -1/3;
y₀ = 6* (-1/3)² + 4*(-1/3) - 10
y₀ = 2/3 - 4/3 - 10
y₀ = - 10 и 2/3;
Координаты вершины параболы (-1/3; -10 и 2/3).
b) Определить промежутки возрастания и убывания функции:
Функция возрастает при х∈(-1/3; +∞);
Функция убывает при х∈(-∞; -1/3).
с) Ось симметрии = х₀ = -1/3.
d) Найти точки пересечения графика с осями координат.
1) график пересекает ось Оу при х = 0:
у = 6х² + 4х - 10
у = 0 + 0 - 10
у = -10.
Координаты пересечения графиком оси Оу: (0; -10).
2) График пересекает ось Ох при у = 0:
у = 6х² + 4х - 10
6х² + 4х - 10 = 0, квадратное уравнение, ищем корни.
Прежде разделить уравнение на 2 для упрощения:
3х² + 2х - 5 = 0
D=b²-4ac =4 + 60 = 64 √D=8
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-2-8)6
х₁= -10/6
х₁= -1 и 2/3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-2+8)/6
х₂=6/6
х₂=1.
Координаты пересечения графиком оси Ох (-1 и 2/3; 0); (1; 0).
2. Дана функция у = -х² - х + 12
а) f(3) = ? f(-5) = ?
Нужно в уравнение подставить известное значение х и вычислить значение у:
1) у = -х² - х + 12 х = 3
у = -(3)² - 3 + 12 = -9 -3 + 12 = 0
При х = 3 f(3) = 0;
2) у = -х² - х + 12 х = -5
у = -(-5)² - (-5) + 12 = -25 + 5 + 12 = -8
При х = -5 f(-5) = -8.
б) График проходит через точку (k; 6). k = ?
Подставить в уравнение известное значение у и вычислить значение k:
k = x
у = -х² - х + 12 у = 6
6 = -х² - х + 12
х² + х - 6 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1 + 24 = 25 √D= 5
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-1-5)/2
х₁= -6/2
х₁= -3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-1 +5)/2
х₂=4/2
х₂=2.
у = 6 при х = -3; х = 2.
Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны:
f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1
f'(x) = 4 - 1 = 3
Тогда уравнение касательной:
Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна:
f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2.
Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе.
Для этого находим критические точки:
x^2 - 2x - 8 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4;
x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2.
Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.