logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
melochek228
melochek228
12.11.2021 00:14 •  Алгебра

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

Показать ответ
Ответ:
Rollov35
Rollov35
02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
madina310
madina310
17.08.2021 13:39
НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ ограниченной линиями у=0, х=1, х=4, у=х^2-1...
LoVeR789
LoVeR789
18.09.2021 07:25
Сколько целых решений имеет неравенство: |χ+2|≤3...
kilala00
kilala00
18.09.2021 07:25
1.составьте формулу функции, если известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и точку b(12; -3) решение: ответ: y= 2. задайте...
анч21
анч21
18.09.2021 07:25
Решите систему уравнения x+y=-2 x²+y²=100...
lokys01twin
lokys01twin
02.02.2020 16:11
Разложить на множители и сократить числ : 5а^2+7а+2 знамен : 3а^2+а-2...
Kamiliya2045
Kamiliya2045
13.02.2021 11:39
X-6a+xy/3-2ay надо)))​...
po4emy228
po4emy228
09.05.2022 05:26
Данно 3 c 4; 1 d 3 Оцінити значення виразу1) c+4d2)2cd​...
OLZHAS1808
OLZHAS1808
17.04.2020 04:01
НАЙТИ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ И ЗАПОЛНИТЬ ПРОПУСКИ...
ники2017
ники2017
10.07.2021 08:36
Спортсмен на соревнованиях получил оценки судей за выступление. Все судьи выставили оценки. Получился следующий ряд:5,6;5,2;5,1;6,0;5,8;5,4;5,9. Найдите размах и медиану...
Zakhar13371
Zakhar13371
01.11.2022 01:39
очень надо! Задание всего одно, заранее спаибо!)...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота