Войти Регистрация Спроси ai-bota

По условиям Даламбера-Эйлера доказать аналитичность функции и найти её производную: W = sin z

Показать ответ

Ответ:

DanilNaumov

15.11.2020 05:29

$\cos (z)$

Объяснение:

$\sin (z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{-e^{-i(x+iy)}+e^{i(x+iy)}}{2i}=\dfrac{-e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2i}=\\ \dfrac{-e^{y}(cos(-x)+isin(-x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2i}= \\ \dfrac{ie^{y}(cos(x)-isin(x))-ie^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}= \\ \dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})+i\cdot cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$u(x,y)=\dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;v(x,y)=\dfrac{cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}$

Как видим, условия Даламбера-Эйлера выполняются. При этом частные производные u и v непрерывны по обеим переменным, а значит W(z) аналитична. Тогда ее производная равна

$W'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}+i\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}=\\ \dfrac{e^{y}(cos(x)-isin(x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}=\\ \dfrac{e^{y}e^{-ix}+e^{-y}e^{ix}}{2}=\dfrac{e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2}=\cos(z)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

KSUMOKLOKOVA

06.01.2021 16:46

Ктрехзначному числу приписали цифру 2 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 4113. найдите это трехзначное число....

Marshall123

06.01.2021 16:46

Рис стоит 36 рублей,а гречка 48 рублей за килограмм.на сколько процентов рис дешевле гречки?...

inpurple

16.06.2021 07:07

Два угла треугольника равны 45° и 70°. найдите величину угла, против которого лежит наибольшая сторона треугольника....

Malika274

27.02.2021 13:29

Максимальный выполните задание и распишите решение...

krisb469

15.01.2022 19:19

Моторная лодка против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, з-тратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной...

Анастасия22Кот11

17.03.2022 21:22

нужно. найти точки максимума и точки убывания...

ololoololoev1

03.02.2023 23:29

Вычислите: 2) 93^3 - 81^3/57^2 - 45^2 - 93^3 - 67^3/64^2 - 38^2+ 1/2...

КликКлак11

06.01.2023 02:26

Решите уравнение (х^2-7х+)(х^2-2х-4)=0...

lutaasasa5p08d7e

05.06.2020 17:11

Покажите истинность равенства cos 64 cos4-cos86 cos26/cos71 cos 3+cos87 cos19...

NikitaAadvanser

08.05.2022 17:00

Сократите дробь: 14а^3 в^5 дробь 21 а^4в...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку