Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:
а) a + 3 + a - 3 б) 2b - 1 + b + 4
b b 2 2
Решение: складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
а) a + 3 + a - 3 = (a + 3) + (a - 3) = a + 3 + a - 3 = 2a
Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:
а) x + 5 - 5x б) a + b - a + 4
3 3 a - 5 a - 5
Решение: вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
а) x + 5 - 5x = x + 5 - 5x = 5 - 4x
3 3 3 3
б) a + b - a + 4 = (a + b) - (a + 4) = a + b - a - 4 = b - 4
a - 5 a - 5 a - 5 a - 5 a - 5
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:
a + b = a + b и a - b = a - b (c≠0)
c c c c c c
Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:
a = -a
b -b
Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:
a = -a = - a = - -a
b -b -b b
Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:
- a = -a = a
b b -b
Пример 1. Найдите сумму дробей:
5a + 3a
b - c c - b
Решение: чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:
5a + 3a = 5a - 3a = 5a - 3a = 2a
b - c c - b b - c -(c - b) b - c b - c b - c
Пример 2. Найдите разность дробей:
n + 5 - 2n
n2 - m m - n2
Решение: чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:
n + 5 - 2n = n + 5 + 2n = n + 5 + 2n = 3n + 5
n2 - m m - n2 n2 - m -(m - n2) n2 - m n2 - m n2 - m
Сложение и вычитание с разными знаменателями
Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:
найти общий знаменатель,
привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
выполнить сложение или вычитание,
сократить полученную дробь, если это возможно.
Пример 1. Выполните сложение дробей:
2a + b
a + b a - b
Решение: находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:
(a + b)(a - b)
Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
2a(a - b) = 2a2 - 2ab
b(a + b) = ab + b2
Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:
2a + b = 2a2 - 2ab + ab + b2 =
a + b a - b a2 - b2 a2 - b2
= 2a2 - 2ab + ab + b2 = 2a2 - ab + b2
a2 - b2 a2 - b2
Пример 2. Выполните вычитание дробей:
b - 2
a2 - ab a - b
Решение: разложим знаменатель первой дроби на множители:
a2 - ab = a(a - b)
Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:
2 · a = 2a
Получаем:
b - 2 = b - 2a = b - 2a
a2 - ab a - b a(a - b) a(a - b) a(a - b)
Пример 3. Выполните сложение:
x + x2
1 - x
Решение: запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 - x:
x + x2 = x + x2 = x(1 - x) + x2 = x - x2 + x2
1 - x 1 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x
Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
x - x2 + x2 = x - x2 + x2 = x
1 - x 1 - x 1 - x 1 - x
Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.
а) 5х2 = 9х + 2; б) -х2 = 5x - 14;
в) 6х + 9 = х2; г) z - 5 = z2 - 25;
д) у2 = 520 - 576; е) 15у2 - 30 = 22y + 7;
ж) 25р2 = 10p - 1; з) 299х2 + 100x = 500 - 101х2. ответ:а) 5х2 = 9х + 2; 5х2 - 9х - 2 = 0; D = 81 + 4 • 5 • 2 = 81 + 40= 121; х = (9±11)/10; х1 = -0,2; х2 = 2;
б) -х2 = 5x - 14; х2 + 5х - 14 = 0; D = 25 + 4 • 14 = 81; х = (-5±9)/2; х1 = -7; х2 = 2;
в) 6х + 9 = х2; х2 - 6х - 9 = 0; D = 36 + 4 • 9 = 36 + 36 = 72; х = (6±√72)/2; = 3 ± 3√2;
г) z - 5 = z2 - 25; z2 - z - 20 = 0; D = 1 + 80 = 81; х = (1±9)/2;; х1 = -4; х2 = 5;
д) у2 = 520 - 576; у2 - 52у + 576 = 0; D1 = 262 - 576 = 676 - 576 = 100; х = (26±10)/1; х1 = 16; х2 = 36;
е) 15у2 - 30 = 22y + 7; 15у2 -22у - 37 = 0; D = 112 + 37 • 15 = 676; х = (11±26)/15; х1 = -1; х2 = 37/15 = 2 7/15;
ж) 25р2 = 10p - 1; 25р2 - 10р + 1; D1 = 25 - 25 = 0; p = 5/25 = 1/5;
з) 299х2 + 100x = 500 - 101х2; 400х2 + 100х - 500 = 0; 4х2 + х - 5 = 0; D = 1 + 4 • 4 • 5 = 81; х = (-1±9)/8; х1 = -1 1/4; х2 = 1.
Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:
а) a + 3 + a - 3 б) 2b - 1 + b + 4
b b 2 2
Решение: складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
а) a + 3 + a - 3 = (a + 3) + (a - 3) = a + 3 + a - 3 = 2a
b b b b b
б) 2b - 1 + b + 4 = (2b - 1) + (b + 4) = 2b - 1 + b + 4 = 3b + 3
2 2 2 2 2
Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:
а) x + 5 - 5x б) a + b - a + 4
3 3 a - 5 a - 5
Решение: вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
а) x + 5 - 5x = x + 5 - 5x = 5 - 4x
3 3 3 3
б) a + b - a + 4 = (a + b) - (a + 4) = a + b - a - 4 = b - 4
a - 5 a - 5 a - 5 a - 5 a - 5
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:
a + b = a + b и a - b = a - b (c≠0)
c c c c c c
Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:
a = -a
b -b
Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:
a = -a = - a = - -a
b -b -b b
Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:
- a = -a = a
b b -b
Пример 1. Найдите сумму дробей:
5a + 3a
b - c c - b
Решение: чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:
5a + 3a = 5a - 3a = 5a - 3a = 2a
b - c c - b b - c -(c - b) b - c b - c b - c
Пример 2. Найдите разность дробей:
n + 5 - 2n
n2 - m m - n2
Решение: чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:
n + 5 - 2n = n + 5 + 2n = n + 5 + 2n = 3n + 5
n2 - m m - n2 n2 - m -(m - n2) n2 - m n2 - m n2 - m
Сложение и вычитание с разными знаменателями
Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:
найти общий знаменатель,
привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
выполнить сложение или вычитание,
сократить полученную дробь, если это возможно.
Пример 1. Выполните сложение дробей:
2a + b
a + b a - b
Решение: находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:
(a + b)(a - b)
Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
2a(a - b) = 2a2 - 2ab
b(a + b) = ab + b2
Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:
2a + b = 2a2 - 2ab + ab + b2 =
a + b a - b a2 - b2 a2 - b2
= 2a2 - 2ab + ab + b2 = 2a2 - ab + b2
a2 - b2 a2 - b2
Пример 2. Выполните вычитание дробей:
b - 2
a2 - ab a - b
Решение: разложим знаменатель первой дроби на множители:
a2 - ab = a(a - b)
Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:
2 · a = 2a
Получаем:
b - 2 = b - 2a = b - 2a
a2 - ab a - b a(a - b) a(a - b) a(a - b)
Пример 3. Выполните сложение:
x + x2
1 - x
Решение: запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 - x:
x + x2 = x + x2 = x(1 - x) + x2 = x - x2 + x2
1 - x 1 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x 1 - x
Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
x - x2 + x2 = x - x2 + x2 = x
1 - x 1 - x 1 - x 1 - x
Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.
Объяснение: