y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или
(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>
y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С
найдем по формуле:
Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>
y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.
Уравнение прямой АС:
(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или
(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>
y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В
найдем по формуле:
Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>
y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.
Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:
х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.
Тогда y = -2.
ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)
треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.
Для проверки найдем длины сторон треугольника:
АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.
ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.
АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.
АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.
По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.
Объяснение:
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
ОДЗ : -x² + 4x + 5 > 0
-(x² - 4x - 5) > 0 ⇔ x² - 4x - 5 < 0 ⇔
(x - 5)(x + 1) < 0
Метод интервалов
+++++++ (-1) -------- (5) ++++++++ >>> x
ОДЗ : x ∈ (-1; 5)
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2 = log₂(-x² + 4x + 5) + log₂4 =
= log₂ ( ( -x² + 4x + 5) * 4) = log₂( -4x² + 16x + 20)
y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
Максимальное значение функции :y(2) = log₂(-2² + 4*2 + 5) + 2 = log₂9 + 2 = 2( log₂3 + 1)
ответ: точка максимума х₀ = 2