Пример:Решить уравнение x 2+ 14x + 45 = 0 Решение: Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.Для применения первой формулы необходимо получить выражениеx2+ 14x + 49 = 0.Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2+ 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат x 2+ 14x + 45+4−4 =0 (x 2+ 14x + 45+4)−4=0(x 2+ 14x + 49)−4=0(x+7)2−4=0Применим формулу «разность квадратов» a2−b2=(a−b)⋅(a+b) (x+7)2−22=0( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0x + 5 = 0 x + 9 = 0x1 = – 5 x2 = – 9 ответ: –9;–5.Пример:Решить уравнение x2 − 6x − 7 = 0Решение: Выделим в левой части полный квадрат.Для применения второй формулы необходимо получить выражение x2 − 6x +9 = 0 Поэтому запишем выражение x2 − 6x в следующем виде: x2−6x =x2−2⋅x⋅3 В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа x, а второе - удвоенное произведение x на 3.Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32 Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 32, чтобы выделить полный квадрат.x2 − 6x − 7 = x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 − 32 − 7 = (x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 ) − 32 − 7 ==(x − 3)2 − 9 − 7 = (x − 3)2 − 16. Подставим в уравнение и применим формулу a2−b2=(a−b)⋅(a+b).(x −3)2−16=0(x −3)2=16x −3=4x −3= −4x=3+4x = 3−4x1=7x2= −1 ответ:–1;7.
Решение:
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.Для применения первой формулы необходимо получить выражениеx2+ 14x + 49 = 0.Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2+ 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат x 2+ 14x + 45+4−4 =0 (x 2+ 14x + 45+4)−4=0(x 2+ 14x + 49)−4=0(x+7)2−4=0Применим формулу «разность квадратов» a2−b2=(a−b)⋅(a+b) (x+7)2−22=0( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0x + 5 = 0 x + 9 = 0x1 = – 5 x2 = – 9
ответ: –9;–5.Пример:Решить уравнение x2 − 6x − 7 = 0Решение:
Выделим в левой части полный квадрат.Для применения второй формулы необходимо получить выражение x2 − 6x +9 = 0
Поэтому запишем выражение x2 − 6x в следующем виде: x2−6x =x2−2⋅x⋅3
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа x, а второе - удвоенное произведение x на 3.Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32
Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 32, чтобы выделить полный квадрат.x2 − 6x − 7 = x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 − 32 − 7 = (x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 ) − 32 − 7 ==(x − 3)2 − 9 − 7 = (x − 3)2 − 16.
Подставим в уравнение и применим формулу a2−b2=(a−b)⋅(a+b).(x −3)2−16=0(x −3)2=16x −3=4x −3= −4x=3+4x = 3−4x1=7x2= −1
ответ:–1;7.