Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
x-2 – скорость катера против течения
x+2 – скорость катера по течению
Не забываем формулу S = v•t
Составляем уравнение:
30/(x-2) + 12/(x+2) = 44/x
Видим, что в знаменателях есть x-ы, ищем чему они не могут быть равны:
x-2 ≠ 0
x ≠ 2
x+2 ≠ 0
x ≠ -2
x ≠ 0
Теперь решаем, в конце не забыв учесть все запрещённые x:
30x(x+2) + 12x(x-2) = 44(x-2)(x+2)
30x² + 60x + 12x² - 24x = 44(x² - 4)
42x² + 36x = 44x² - 176
-2x² + 36x + 176 = 0
x² - 18x - 88 = 0
Решаю через выделение полного квадрата:
(x-9)² = 169
Находим первый x:
x-9 = -13
x₁ = -4
Находим второй x:
x-9 = 13
x₂ = 22
Теперь проверяем, что x₁ и x₂ не равны 2 или -2 или 0. Это так, значит они подходят.
Откидываем x₁, поскольку он отрицательный и оставляем x₂.
ответ: скорость катера по озеру равна 22 км/ч.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.