Найти все целочисленные решения уравнения: 5x+3y=17 - вопрос №5317162839305949 от Starshine2007 13.03.2023 03:42

Question

Алгебра: Найти все целочисленные решения уравнения: 5x+3y=17 16x^2+8xy-3y^2+19=0

Starshine2007 · Answer

5x + 3y = 17

Найдём частное решение этого уравнения, решив такое уравнение:

5x + 3y = gcd(5, 3) = 1

Решениями являются

x_g = 2, y_g = -3

И частное решение этого уравнения выглядит как

$\left \{ {{x_0 = x_g \frac{17}{gcd(5, 3)} = 34} \atop {y_0 = y_g\frac{17}{gcd(5, 3)}=-51} \right.$

Остальные решения в целых числах можно найти как:

$\left \{ {{x = x_0 + k * \frac{3}{gcd(5, 3)}} \atop {y = y_0 - k * \frac{5}{gcd(5, 3)}}} \right.$

Где $k \in \mathbb{Z}$

16x^2+8xy-3y^2+19=0

(4x + y)^2 - 4y^2 = -19

(4x - y)(4x + 3y) = -19

Число -19 простое, тогда решением будет являться одна из систем:

$\left \{ {{4x - y = \pm19} \atop {4x + 3y = \mp1}} \right.$

$\left \{ {{4x - y = \pm1} \atop {4x + 3y = \mp19}} \right.$

У первых систем нет решений в целых числах. Решениями вторых являются пары (1, 5) и (-1, -5).