Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой $y = - {x}^{2} + 4x - 4$

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

Показать ответ

Ответ:

LizaVeta281

02.10.2021 20:10

$\boxed{\dfrac{8}{3}}$ квадратных единиц

Объяснение:

Построим график $y = -x^{2} + 4x - 4$

Пусть S площадь ограниченная графиком функции $y = -x^{2} + 4x - 4$ осями координат. Пусть точка B - пересечение графика y и оси абсцисс, точка A - пересечение графика y и оси ординат.

$y(0) = -0^{2} + 4 * 0 - 4 = -4$

y = 0

$-x^{2} + 4x - 4 = 0|*(-1)$

$x^{2} - 4x + 4 =0$

$(x - 2)^{2} = 0 \Longleftrightarrow x - 2 =0$

x = 2

Координаты точек A и B:

A(0;-4)

B(2;0)

Пусть точка начало системы координат, тогда точка O имеет координаты O(0;0).

Узнаем уравнение прямой проходящей через точки A и B. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде: y = kx + b .

$\displaystyle \left \{ {{A: -4=k * 0 + b} \atop {B:0=2*k + b}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {0=2k - 4}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {4=2k |:2}} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ b=-4} \atop {k = 2}} \right.$

y = 2x - 4

Пусть $S_{1}$ - площадь между прямой y = 2x - 4 и функцией $y = -x^{2} + 4x - 4$

Пусть f(x) = y = 2x - 4 и $g(x) = y = -x^{2} + 4x - 4$ .

$S = S_{\bigtriangleup AOB} - S_{1}$

$OA = \sqrt{(x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2}} = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (-4 - 0)^{2}} =\sqrt{16} = 4$

$OB = \sqrt{(x_{B} - x_{O})^{2} + (y_{B} - y_{O})^{2}} = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2}} =\sqrt{4} = 2$

По формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{\bigtriangleup AOB} = \dfrac{AO * OB}{2} = \dfrac{4 * 2}{2} = 4$ .

Промежуток интегрирования: [0;2]

Докажем, что $f(x) \geq g(x)$ при $x \in [0;2]$

$2x- 4 \geq -x^{2} + 4x - 4$

$x^{2} - 2x \geq 0$

$x(x - 2) \geq 0$

$x \in (-\infty;0] \cup [2;+\infty)$ тогда можно сделать вывод, что

$g(x) \geq f(x)$ при $x \in [0;2]$ .

По теореме:

$S_{1} = \displaystyle \int\limits^2_0 {(g(x) - f(x))} \, dx = \int\limits^2_0 {-x^{2} +4x - 4 - 2x + 4} \, dx = \int\limits^2_0 {2x-x^{2}} \, dx =$

$= x^{2} - \dfrac{x^{3} }{3} \bigg|_0^2 = (2^{2} - \dfrac{2^{3} }{3}) - 0 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{12 - 8}{3} = \dfrac{4}{3}$ .

$S = S_{\bigtriangleup AOB} - S_{1} = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{12 -4}{3} = \dfrac{8}{3}$ квадратных единиц.

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

найти площадь фигуры,ограниченной осями координат и параболой

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Aleksey4569

13.01.2021 00:16

Знайти значення аргументу, якщо значення функції -6 y=4x-12...

asdfghjkl115

29.04.2023 01:44

Расположите выражения в порядке возрастания ...

AnastasiaStoyn

02.10.2022 22:08

1)Имеется 16 монет достоинством 5 рублей и 2 рубля, причём монет достоинством 2 рубля а штук. Составьте выражение для определения общей денежной суммы и упростите...

адильхан9

09.11.2021 07:15

Тем раньше , тем лучше) 8 класс...

Denisigroman

05.03.2022 16:05

Найдите значение выражения 4/5•1/16...

златагирко

05.03.2022 16:05

3x^2+8xy+3y^2=14 определите тип кривой...

АнимешницаВикуля777

11.08.2020 22:56

Нужна нужно. иррациональное уравнение....

ниёля1

09.11.2022 03:12

Найдите наименьший положительный корень уравнения 3cos x - sin 2x = 0...

131756

01.03.2023 16:25

Яка з точок буде точкою мінімуму функції f(x)=-x^3+12x-2...

Begkakaaa

08.05.2020 23:58

Найдите координаты точки пересечения графика функции у=-х-2 с осью абсцисс. ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку