В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
derotasgo
derotasgo
03.03.2020 16:30 •  Алгебра

Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси oy.

Показать ответ
Ответ:
SarJiG2A
SarJiG2A
24.05.2020 04:50

Найдем точки пересечения прямой и окружности:

\left \{ {{x^2+y^2=25} \atop {3x-4y=0}} \right. 

\left \{ {{y=\frac{3}{4}x} \atop {x^2+\frac{9}{16}x^2=25}} \right. 

x = +/-4

Найдем точки пересечения дуги окружности и оси ОХ:

\left \{ {{y=0} \atop {x^2+y^2=25}} \right. 

x = +/-5

Объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5;4] (исходя из рисунка)

V_y = 2\pi\int\limits^a_b {x*(y_1-y_2)} \, dx 

V_y = 2\pi\int\limits^{4}_{-5} {x(\frac{3}{4}x-\sqrt{25-x^2})} \, dx = 2\pi(\frac{3}{4}\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx-\int\limits^{4}_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx)

\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}|_{-5}^4 = \frac{4^3}{3} + \frac{5^3}{3}=\frac{189}{3} 

\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx 

Замена:

u = 25-x^2

du = -2xdx

xdx = -0.5du

u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2}\int\limits^9_0 {\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_0^9 = -\frac{1}{3}\sqrt{u^3}|_0^9 = -\frac{1}{3}3^3 = -9 

V_y = 2\pi(\frac{3}{4}*\frac{189}{3}-(-9)) = 2\pi*56.25=112.5\pi 

 

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота