Найти кооринаты вершины параболы и нули функции

a) y = 3x² - 6x + 1   -  квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх ( а = 3 > 0).  Промежутки монотонности отделяются координатой х вершины параболы.

x∈ (-∞; 1] - функция убывает

x∈ [1; +∞) - функция  возрастает

---------------------------------------------------------------------

б) y = x⁹ - 9x

Для нахождения промежутков монотонности нужно найти экстремумы функции с первой производной.

y' = (x⁹)' - (9x)' = 9x⁸ - 9 = 9(x⁸ - 1)

9(x⁸ - 1) = 0;    ⇒    x⁸ = 1;    ⇒     x₁ = 1; x₂ = -1

Интервалы знакопостоянства для производной функции y'

+++++++++ [-1] ------------ [1] +++++++++> x

        /                    \                   /

x∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)  -  функция возрастает

x∈ [-1; 1]  -  функция убывает

F(x) = x^2*(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 4x^3 + 4x^2
1) Область определения функции (ОДЗ): вся числовая ось (любые х)
2) Область значений функции: y≥0
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. f(x) ≠ f(-x) и f(x)≠ -f(x)
4) Функция непрерывная, т.к. ОДЗ - вся числовая ось.
5) Нули функции: x^2*(x - 2)^2 = 0, x=0, x=2, т.е. (0:0) и (2;0). Функция пересекает ось Оу в точке: (0;0).
6) f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0
x^3 - 3x^2 + 2x = 0, x*(x^2 - 3x + 2) = 0
x1 = 0,   x2 = 2,   x3 = 1
Производная отрицательна при: х∈(-бесконечность; 0)u(1;2), функция убывает
Производная положительна при: х∈(0;1)u(2;+бесконечность), функция возрастает.
x=0 и x=2 - точки минимума
x=1 - точка изгиба (выпуклость функции)
7) График строится исходя из полученных сведений пп.1)-6), и с добавлением произвольных точек (значение высчитать вручную, устно). График прикреплен.