В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
natalibezugla2
natalibezugla2
06.01.2022 05:36 •  Алгебра

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .


Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Показать ответ
Ответ:
Алексей000999
Алексей000999
24.11.2020 13:31

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n

\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}

А значит интервал сходимости x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})

Исследуем на концах:

x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4} - сходится как обобщенный гармонический ряд с k=41

x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n

Заметим, что ряд из модулей \sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4} сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4} сходится

А тогда исходный ряд сходится на \left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота