РЕШЕНИЕ Экстремумы находим по корням первой производной. 1. Y(x) = -2*x³ + 36*x² - 66*x+1 - функция Y'(x) = - 6*x² + 72*x - 66 - первая производная. Находим корни - решаем - D = 3600, x1 = 1, x2 = 11. Делаем вывод - в области определения только один корень. Вычисляем при Х = 1. Ymin(1) = -2+36-66+1 = - 31 - минимум - ОТВЕТ Функция с отрицательным коэффициентом при Х³ - убывает. Значит максимум на границе - при Х = - 2 Вычисляем при Х = - 2 Ymax(-2) = 16+144+132+1 = 293 - максимум - ОТВЕТ Рисунок к задаче в приложении. 2. D(x) = [0;π/2] - область определения Y(x) = sin(X) + 1/2*cos(X) - функция. График функции - в приложении. Y'(x) = cos(X) - sin(2*x) - производная. Решаем уравнение cos(x) - 2*sin(x)*cos(x) = 0 cos(x)*(1 - 2*sin(x)) = 0 x1 = π/6, x2 = 0. Минимум при Х=0, Ymin(0) = 0.5 - ОТВЕТ Максимум при Х = π/6 = 30°, Ymax(π/6) = 0.75 - ОТВЕТ
итакsin2x раскладывае как 2 sinx cosx 2 sin x cos x - 2 sin x + 2 cos x = 2 делим на 2 sin x cos x - sin x + cos x = 1 раскладываем 1 как sin^2(x) + cos^2(x) sin^2(x) + cos^2(x) - sinx cosx=cosx - sinx левая часть - квадрат разности (cos x -sin x)^2 - (cos x -sin x)=0 выносим общий множитель (cos x - sin x) (cos x - sin x)(cos x - sin x -1)=0 здесь чтобы произведение было равно 0, нужно, чтобы хотя бы одно из них было равно 0 получается cos x- sin x =0 или (cos x - sin x -1)=0
1) cos x =sin x делим на sin x делим на корень из 2 tg x = 1 x= пи/4 + пи*n, где n - целое
2)(cos x - sin x -1)=0 cos x-sin x =1 (1/корень из 2)cos x - (1/корень из 2)sinx=1/корень из 2 (1/корень из 2) = cos пи/4 или sin пи/4 sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x =1/корень из 2 sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x = sin (пи/4 - x) sin (пи/4 - x)=1/корень из 2 пи/4 - x = пи/4 + 2*пи*к, где к-целое x=2*пи*к, где к-целое ответ: x= пи/4 + пи*n, где n - целое x=2*пи*к, где к-целое
Экстремумы находим по корням первой производной.
1.
Y(x) = -2*x³ + 36*x² - 66*x+1 - функция
Y'(x) = - 6*x² + 72*x - 66 - первая производная.
Находим корни - решаем - D = 3600, x1 = 1, x2 = 11.
Делаем вывод - в области определения только один корень.
Вычисляем при Х = 1.
Ymin(1) = -2+36-66+1 = - 31 - минимум - ОТВЕТ
Функция с отрицательным коэффициентом при Х³ - убывает.
Значит максимум на границе - при Х = - 2
Вычисляем при Х = - 2
Ymax(-2) = 16+144+132+1 = 293 - максимум - ОТВЕТ
Рисунок к задаче в приложении.
2.
D(x) = [0;π/2] - область определения
Y(x) = sin(X) + 1/2*cos(X) - функция.
График функции - в приложении.
Y'(x) = cos(X) - sin(2*x) - производная.
Решаем уравнение
cos(x) - 2*sin(x)*cos(x) = 0
cos(x)*(1 - 2*sin(x)) = 0
x1 = π/6, x2 = 0.
Минимум при Х=0, Ymin(0) = 0.5 - ОТВЕТ
Максимум при Х = π/6 = 30°, Ymax(π/6) = 0.75 - ОТВЕТ
итакsin2x раскладывае как 2 sinx cosx
2 sin x cos x - 2 sin x + 2 cos x = 2
делим на 2
sin x cos x - sin x + cos x = 1
раскладываем 1 как sin^2(x) + cos^2(x)
sin^2(x) + cos^2(x) - sinx cosx=cosx - sinx
левая часть - квадрат разности
(cos x -sin x)^2 - (cos x -sin x)=0
выносим общий множитель (cos x - sin x)
(cos x - sin x)(cos x - sin x -1)=0
здесь чтобы произведение было равно 0, нужно, чтобы хотя бы одно из них было равно 0
получается
cos x- sin x =0 или (cos x - sin x -1)=0
1) cos x =sin x
делим на sin x делим на корень из 2
tg x = 1
x= пи/4 + пи*n, где n - целое
2)(cos x - sin x -1)=0
cos x-sin x =1
(1/корень из 2)cos x - (1/корень из 2)sinx=1/корень из 2
(1/корень из 2) = cos пи/4 или sin пи/4
sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x =1/корень из 2
sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x = sin (пи/4 - x)
sin (пи/4 - x)=1/корень из 2
пи/4 - x = пи/4 + 2*пи*к, где к-целое
x=2*пи*к, где к-целое
ответ: x= пи/4 + пи*n, где n - целое
x=2*пи*к, где к-целое