Найдите значение производных указанных функций в точке x0 = 1. а) y=2x^3 – x^5+sin(2x-2).
б) y=2^x∙x.
Задание 2.
Движение тела задано уравнением (пройденный телом путь L указан в метрах, время t – в секундах): L(t)=( 1/t)+2t
a) Найдите время, когда скорость тела равна 1 м/с
б) Найдите путь, пройденный телом к этому времени
Задание 3.
Задана функция: y = x^3 – 3x
а) Найдите тангенс угла наклона касательной к этой функции в точке x0 = 3/2
б) Запишите уравнение касательной к данной функции в точке x1 = 2
в) Найдите такие точки x2 и x3, в которых касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс
Задание 4.
Задана функция: y=(x^3)/(3) +(3x^2)+(8x)-6
а) Найдите стационарные точки функции
б) Укажите интервалы монотонности функции
в) Найдите точки экстремума функции, укажите их вид
3-x^2 = 2x^2
Получаете простое квадратное уравнение и решаете его. Находите две точки пересечения - корни уравнения х1 = а, х2 = b, (При этом а < b). Поставьте эти точки на рисунке и проведите из них вертикальные прямые к точкам пересечения парабол - х = а и х = b . А теперь сделайте так - заштрихуйте косой штриховкой фигуру, ограниченную линиями:
у = 3-x^2, у = 0, х = а, х = b
А теперь заштрихуйте обратной косой штриховкой фигуру, ограниченную линиями:
y=2x^2, у = 0, х = а, х = b
В результате эта фигура будет заштрихована в клеточку, а та фигура, площадь которой мы ищем в полосочку ( обычной косой штриховкой) .
Для того, чтобы найти площадь фигуры, заштрихованной в клеточку достаточно вычислить определенный интеграл от функции (2x^2)dx в пределах от а до b. А для того, чтобы вычислить площадь фигуры, заштрихованной обоими видами штриховки, надо вычислить определенный интеграл от функции (3 - x^2)dx в пределах от a до b.
Если Вы честно нарисовали рисунок, то, посмотрев на рисунок, Вы сразу догадаетесь, как найти площадь фигуры заштрихованной в полосочку, зная площади фигур заштрихованных в клеточку и обоими видами штриховки.
Удачи!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции:
x≠0
D(f)=(-∞;0)∪(0; +∞)
Область значений функции:
y≠1E(f)=(-∞;1)∪(1; +∞)
2) Нули функции.
x≠0y=02/x+1=02/x=-1x=-2
3) Промежутки знакопостоянства функции.y>0
2/x+1>0(2+x)/x>0 + - +__________-2_____________0_____________
y>0 x∈(-∞; -2)∪(0; +∞)
y<0 x∈(-2; 0)4) Монотонность функции.
-2/х²=0
х≠0
Значит точек перегиба нет.
Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
5) Четность (нечетность) функции.
f(-x) =2/(-х)+1=-2/х+1
-f(x)=-2/x-1f(x)≠-f(x)=f(-x)⇒ значит функция не является ни четной ни не четной
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
7) У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.8) Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.