На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.
В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая.
Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.
В таком случае придется выполнять дополнительные построения.
На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.
Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.
Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.
Доказательство:
На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.
Рассмотрим треугольники AKE и BKC:
1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)
2) KE=CK (по построению)
3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).
Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.
По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.
Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC.
А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).
Объяснение:
1. 3(x - 2) = x + 2
3x - 6 = x + 2
3x - x = 2 + 6
2x = 8
x = 4
2. 5 - 2(x - 1) = 4 - x
5 - 2x - 2 = 4 - x
-2x + x = 4 -5 + 2
-x = 1
x = -1
3. (7x + 1) - (9x +3) = 5
7x + 1 - 9x - 3 = 5
7x - 9x = 5 - 1 + 3
-2x = 7
x = -3,5
4. 3,4 + 2y = 7(y - 2,3)
3,4 + 2y = 7y - 16,1
2y - 7y = -16,1 - 3,4
-5y = -19,5
y = 3,9
5. 0,2(7 - 2y) = 2,3 - 0,3(y - 6)
1,4 - 0,4y = 2,3 - 0,3y + 1,8
- 0,4y + 0,3y = 2,3 + 1,8 - 1,4
-0,1y = 2,7
y = -27
6. 2/3(1/3x - 1/2) = 4x + 2 1/2
2/9x - 1/3 = 4x + 5/2
2/9x - 4x = 5/2 + 1/3
-34/9 x = 17/6
x = -3/4
∆ ABC,
CK — медиана и биссектриса
Доказать:
∆ ABC — равнобедренный.
Проведем анализ задачи:
На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.
В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая.
Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.
В таком случае придется выполнять дополнительные построения.
На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.
Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.
Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.
Доказательство:
На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.
Рассмотрим треугольники AKE и BKC:
1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)
2) KE=CK (по построению)
3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).
Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.
По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.
Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC.
А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).