1) Найдем такие значения х, при которых выражение под знаком модуля равно 0 х+2=0, х=-2 х-3=0, х=3
2) Нанесем на числовую прямую эти числа и рассмотрим промежутки (смотри вложение)
3) На промежутке [3;+∞) выражения под обеими модулями положительные. Модуль положительного числа равен этому же числу. Раскроем знак модуля х+2+х-3=10,
{2х-1=10 {х≥3
{2х=11 {х≥3
{х=5,5 {х≥3
Число 5,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это первый корень
4) На промежутке (-2;3) выражение под первым модулем положительное, а под вторым — отрицательное. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Раскроем знак модуля х+2-х+3=10
{0х+5=10 {-2<х<3
{0х=5 {-2<х<3
Это уравнение не имеет действительных корней
5) На промежутке (-∞;-2] выражения под обеими модулями отрицательные. Раскроем знак модуля -х-2-х+3=10
{-2х+1=10 {х≤-2
{-2х=9 {х≤-2
{х=-4,5 {х≤-2
Число -4,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это второй корень
х+2=0, х=-2
х-3=0, х=3
2) Нанесем на числовую прямую эти числа и рассмотрим промежутки (смотри вложение)
3) На промежутке [3;+∞) выражения под обеими модулями положительные. Модуль положительного числа равен этому же числу. Раскроем знак модуля
х+2+х-3=10,
{2х-1=10
{х≥3
{2х=11
{х≥3
{х=5,5
{х≥3
Число 5,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это первый корень
4) На промежутке (-2;3) выражение под первым модулем положительное, а под вторым — отрицательное. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. Раскроем знак модуля
х+2-х+3=10
{0х+5=10
{-2<х<3
{0х=5
{-2<х<3
Это уравнение не имеет действительных корней
5) На промежутке (-∞;-2] выражения под обеими модулями отрицательные. Раскроем знак модуля
-х-2-х+3=10
{-2х+1=10
{х≤-2
{-2х=9
{х≤-2
{х=-4,5
{х≤-2
Число -4,5 принадлежит указанному промежутку, значит, это второй корень
ответ: -4,5 и 5,5
В решении.
Объяснение:
Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. [ ]
а) х²+3х+8<0
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
х² + 3х + 8 = 0
D=b²-4ac =9 - 32 = -23
D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.
Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.
Подставить в неравенство произвольное значение х:
х = 0;
0 + 0 + 8 < 0, не выполняется.
Значит, неравенство не имеет решений. ответ 1).
b) х²+12х+36≤ 0
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
х² + 12х + 36 = 0
D=b²-4ac =144 - 144 = 0 √D=0
х₁,₂=(-b±√D)/2a
х₁,₂=(-12±0)/2
х₁,₂= -6.
Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, парабола "стоит" на оси Ох в точке х= -6.
Решение неравенства x={-6}. ответ 3). Скобка фигурная.
c) х²-5х+4≤0
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
х² - 5х + 4 = 0
D=b²-4ac = 25 - 16 = 9 √D=3
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(5-3)/2
х₁=2/2
х₁=1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(5+3)/2
х₂=8/2
х₂=4.
Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х = 1 и х = 4.
Решение неравенства: х∈[1; 4]. ответ 4).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
d) –х²+9>0
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
–х² = -9
х² = 9
х = ±√9
х = ±3;
Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох в точках х = -3 и х= 3.
Решение неравенства х∈(-3; 3). ответ 4).
Неравенство строгое, скобки круглые.
1) Неравенство не имеет решений.
2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков