Дана функция f(x) = 7 - 3x² и требуется найти наименьшее значение функции на отрезке x ∈ [-1 ; 2].
Для начала найдем производную функции, а затем ее критические точки:
f'(x) = (7 - 3x²)' = -3*2x = -6x [следовательно, производная функции f'(x) = -6x. Приравняем её к нулю: ]
-6x = 0 ⇒ x₀ = 0 { - критическая точка}
Проверим, принадлежит ли эта {критическая} точке заданному изначально отрезку: 0 ∈ [-1 ; 2]. Значит берем ее для проверки.
Вспомним-ка...: По правилу, для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, необходимо найти ее точки экстремумов, и если они входят в заданный отрезок (в противном случае, они просто - напросто "откидываются"), подставить их, а также крайние точки заданного отрезка в функцию, тем самым рассчитав ее {функции} значения в этих точках. Из полученных значений выбрать наибольшее (наименьшее).
Объяснение:
ВОПРОС <1>
cosα = 12/13, при чем 0 < α < π/2 ( т.е. α ∈ ( 0; π/2), или, другими словами, α ∈ Iч {альфа принадлежит первой четверти} )
По основному тригонометрическому тождеству,
sin²α + cos²α = 1
Легко можно вывести sinα:
sin²α = 1 - cos²α
sinα = ±√(1 - cos²α)
Решаем:
sinα = ±√(1 - cos²α) = ± √(1 - (12/13)²) = ±√(1 - 144/169) = ±√(169/169 - 144/169) = ±√((169-144)/169) = ± √ ( 25/169) = ±5/13
У нас получилось два значения: sinα = ±5/13
НО ∠α ∈ ( 0; π/2) [или α ∈ Iч ], а синус угла первой четверти единичной окружности {на координатной плоскости} (ровно как и косинус) положителен, то есть sinα > 0 (ТОЧНЕЕ 0 < sinα < 1 , при 0 < α < π/2 ) а значит, sinα ≠ -5/13
ОТВЕТ: sinα = +5/13
________________________________________________________
ВОПРОС<2>
Дана функция f(x) = 7 - 3x² и требуется найти наименьшее значение функции на отрезке x ∈ [-1 ; 2].
Для начала найдем производную функции, а затем ее критические точки:
f'(x) = (7 - 3x²)' = -3*2x = -6x [следовательно, производная функции f'(x) = -6x. Приравняем её к нулю: ]
-6x = 0 ⇒ x₀ = 0 { - критическая точка}
Проверим, принадлежит ли эта {критическая} точке заданному изначально отрезку: 0 ∈ [-1 ; 2]. Значит берем ее для проверки.
Вспомним-ка...: По правилу, для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, необходимо найти ее точки экстремумов, и если они входят в заданный отрезок (в противном случае, они просто - напросто "откидываются"), подставить их, а также крайние точки заданного отрезка в функцию, тем самым рассчитав ее {функции} значения в этих точках. Из полученных значений выбрать наибольшее (наименьшее).
Выполняем:
f(-1) = 7 - 3*(-1)² = 7 - 3 = 4
f(0) = 7 - 3*(0)² = 7 - 0 = 7
f(2) = 7 - 3*(2)² = 7 - 3*4 = 7 - 12 =-5
Сравниваем значения: f(2) < f(-1) < f(0)
-5 < 4 < 7
Значить, f₍наим₎ = -5
ОТВЕТ: f₍наим₎ = -5
________________________________________________________
ВОПРОС<3>
Дано: f(x) = -2/x - 1/x² - 3
Необходимо решить уравнение: f'(x) = 0
Находим f'(x):
f'(x) = (-2/x - 1/x² - 3)' = -2* (-1)*(x⁻²) - 1*(-2)*(x⁻³) = 2/x² + 2/x³
В уравнении f'(x) = 0 заменяем f'(x) на её значение (т.е. на 2/x² + 2/x³
2/x² + 2/x³ = 0
2х/х³ + 2/х³ = 0
( 2х + 2 ) / х³ = 0 ⇒
⇒ 1) 2х + 2 = 0 ⇒ х = -1
и
⇒ 2) х³ ≠ 0 ⇒ х ≠ 0
Следователно, х = -1
ОТВЕТ: х = -1
Всего 4-хзначных чисел (сумма цифр которых =10) = 210
Написал на Python
def getsum(c):
if c>10:
return c%10+getsum(c//10)
else:
return c
c=0
for i in range (1000, 10000):
if getsum(i)==10:
print(i)
c+=1
print('Всего чисел =',c)
Вывод:
1000
1108
1117
1126
1135
1144
1153
1162
1171
1180
1207
1216
1225
1234
1243
1252
1261
1270
1306
1315
1324
1333
1342
1351
1360
1405
1414
1423
1432
1441
1450
1504
1513
1522
1531
1540
1603
1612
1621
1630
1702
1711
1720
1801
1810
1900
2008
2017
2026
2035
2044
2053
2062
2071
2080
2107
2116
2125
2134
2143
2152
2161
2170
2206
2215
2224
2233
2242
2251
2260
2305
2314
2323
2332
2341
2350
2404
2413
2422
2431
2440
2503
2512
2521
2530
2602
2611
2620
2701
2710
2800
3007
3016
3025
3034
3043
3052
3061
3070
3106
3115
3124
3133
3142
3151
3160
3205
3214
3223
3232
3241
3250
3304
3313
3322
3331
3340
3403
3412
3421
3430
3502
3511
3520
3601
3610
3700
4006
4015
4024
4033
4042
4051
4060
4105
4114
4123
4132
4141
4150
4204
4213
4222
4231
4240
4303
4312
4321
4330
4402
4411
4420
4501
4510
4600
5005
5014
5023
5032
5041
5050
5104
5113
5122
5131
5140
5203
5212
5221
5230
5302
5311
5320
5401
5410
5500
6004
6013
6022
6031
6040
6103
6112
6121
6130
6202
6211
6220
6301
6310
6400
7003
7012
7021
7030
7102
7111
7120
7201
7210
7300
8002
8011
8020
8101
8110
8200
9001
9010
9100
Всего чисел = 210