В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
qoqo5
qoqo5
22.12.2020 00:53 •  Алгебра

Найдите наименьшее значение функции y = e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1] , ! как вообще работать с экспонентой? ?

Показать ответ
Ответ:
лиза2677
лиза2677
17.06.2020 05:06
Для поиска экстремумов функции y_{(x)}=e^{2x}-2e^x+8 надо найти её первую производную по аргументу х, приравнять её нулю и решить относительно х полученное уравнение.
y'=2e^{2x}-2e^x; \ y'=0; \ 2e^{2x}=2e^x; \ e^{2x}=e^x
Берем натуральный логарифм от обоих частей уравнения:
2x=x \to x=0
Итак, функция имеет один экстремум в точке х=0.
Определим знак первой производной справа и слева от этой точки, подставляя в выражение для производной значения х=-1 и х=1 (можно взять и другие значения, но поскольку экстремум один, конкретные значения не играют роли и лучше брать точки, где проще оценить значение выражения).
y'_{(-1)}=2e^{-2}-2e^{-1}=2*( \frac{1}{e^2}- \frac{1}{e})=2* \frac{1-e}{e^2}<0; \\ y'_{(1)}=2e^2-2e=2e(e-1)0 \\ ---(-)- 0 -(+) ---
Мы видим, что слева от точки х=0 производная отрицательна, справа - положительна, следовательно в точке х=0 функция имеет минимум.
Вычислим его.
y_{(x=0)}=e^0-2*e^0+8=1-2+8=7
Функция на отрезке [-2;1] в точке х=0 имеет минимум, равный 7.

Примечание. Можно формально придраться к решению, указав что нигде не было использовано левое значение интервала (х=-2), на котором отыскивается минимум. Но, как было замечено выше, функция не имеет точек экстремума при х<0, поэтому было достаточно использовать значение х=-1. Тем не менее, можем подставить в выражение производной значение х=-2 и убедиться, что и в этой точке производная отрицательна:
y'_{(-2)}=2e^{-2*2}-2e^{-2}=2*( \frac{1}{e^4}- \frac{1}{e^2})=2* \frac{1-e^2}{e^4}<0
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота