Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите наибольшее и наименьшее значение площади треугольника, у которого одна из вершин есть начало координат, а две другие принадлежат кривым $f(x) = -2x^{2} + 5x - 10$ и $g(x) = 3x^{2} - 10x + 2$ и имеют одинаковые абсциссы, причем ∈

Показать ответ

Ответ:

POLTIT1

15.10.2020 16:17

$A(0;0)\\\\B(x; -2x^2+5x-10)\\\\C(x; 3x^2-10x+2)\\\\$

⊥

|AD|=|x|=x , так как $x \in [0,6;1,5]$

|BC|=|3x^2-10x+2-(-2x^2+5x-10)|=|5x^2-15x+12|=5x^2-15x+12

так как 5x^2-15x+120 при любых х, D=225-240<0

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AD|\cdot |BC|=\frac{1}{2}x\cdot (5x^2-15x+12)$ - функция, зависящая от х.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на [0,6;1,5]

$S(x)=\frac{1}{2} (5x^3-15x^2+12x)$

$S`(x)=\frac{15x^2-30x+12}{2}$

S`(x)=0 ⇒ 15x^2-30x+12=0

5x^2-10x+4=0

$D=(-10)^2-4\cdot 5\cdot 4=100-80=20=(2\sqrt{5})^2$

$x_{1,2}=\frac{10\pm2\sqrt{5}}{10} =1\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$1-\frac{\sqrt{5}}{5}$ так как 1-0,6 и возводя в квадрат получим:

$0,16 < \frac{5}{25}=0,2$

$1+\frac{\sqrt{5}}{5}$ так как $\frac{\sqrt{5}}{5}< 1,5 -1$ и возводя в квадрат получим:

$0,2=\frac{5}{25}$

Значит только одна точка $x=1+\frac{\sqrt{5}}{5}$ возможного экстремума принадлежит данному отрезку [0,6;1,5]

Эта точка - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +

Значит наименьшее значение площади

$S(1+\frac{\sqrt{5}}{5})=\frac{1}{2} (5\cdot(1+\frac{\sqrt{5}}{5})^3-15\cdot( 1+\frac{\sqrt{5}}{5})^2+12\cdot (1+\frac{\sqrt{5}}{5}))=1-\frac{\sqrt{5} }{5} \approx 0,5527$

Наибольшее значение на одном из концов отрезка:

при x=0,6

$S(0,6)=\frac{1}{2} (5\cdot 0,6^3-15\cdot 0,6^2+12\cdot 0,6)=1,44$ - наибольшее значение

при x=1,5

$S(1,5)=\frac{1}{2} (5\cdot 1,5^3-15\cdot 1,5^2+12\cdot 1,5)=0,5625$

О т в е т. Наибольшее значение площади S(0,6)=1,44

наименьшее значение площади $S(1+\frac{\sqrt{5}}{5})=1-\frac{\sqrt{5} }{5}$

Найдите наибольшее и наименьшее значение площади треугольника, у которого одна из вершин есть начало

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Dvoeschnick

01.12.2022 02:28

Яке твердження є неправильним?...

almaz108

08.07.2022 22:34

Высота цилиндра равна 4 м, расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью сечения равно 3 м, а площадь сечения 32 м2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра....

sms29889855

31.08.2022 00:14

Сколькими можно+разделить+12+учеников+на+четыре+группы+,чтобы+в+каждой+группе+было+3учеников?...

Zara2217

05.01.2023 04:31

Алгебра 8класс. С решением...

Лиана891

05.01.2023 04:31

на фотке это образец побыстрее...

tugatimu9876

17.04.2020 02:06

Упрости многочлен и найди его числовое значение: −ana+a2n4an+8,2, если a=4,n=2....

sabinakalisheva

08.04.2022 21:51

При яких значеннях параметра а всі корені рівняння x2-(2a+3)x+6a=0 належать пооміжку (1;4)...

TheBrainPlay

25.02.2023 12:02

Вычислить расстояние от т. А(1;1) до прямой очень...

Simochka123

06.02.2020 05:02

Представьте выражение в виде степени с основанием х 1)х во второй степени умножить х в 6 степени 2)х в 14 степени делить х 7 степени 3) (х во второй степени ) и в степени 5...

Vbeker

13.10.2020 20:35

Докажите, что если a,b,c,d 0, тоа/(b+c+d) + b/(a+c+d) + c/(a+b+d) + d/(a+b+c) = 4/3...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку