В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
danilbalabanov
danilbalabanov
08.07.2022 03:56 •  Алгебра

Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра `a` ({x}- дробная часть числа `a`):   a+{x}=sqrt(2x-x^2). с графиком и подробным объяснением

Показать ответ
Ответ:
dimabashlik3857
dimabashlik3857
10.10.2020 12:07

Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.

Что такое вообще дробная часть числа f(x)= \{ x \}? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так: [0;1). И состоит она из кусков прямых y=x+m, при этом m \in \mathbb{Z}. (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по y просто). При этом прямая снизу обрывается при y=0, но без разрыва, а при y=1 - сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида (k;1), k \in \mathbb{Z}.

С этим более-менее разобрались, идем дальше. \{ x \}+a - описанная выше функция просто переносится по оси OY на |a| единиц (при a0 вверх, при a вниз).

Теперь по правой части. Тут попроще.

Пусть у нас y=\sqrt{2x-x^2}

Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:

y^2=2x-x^2 \\ x^2-2x+1+y^2-1=0 \\(x-1)^2+y^2=1^2

А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в (1;0) радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.

А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".

Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае a=0, там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.

Исследуем второй кусочек:

При a видно, что пересечений точно нет, при a=-1 крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при a=1, при этом в нем нет разрыва, поэтому при a=1 пересечение ещё будет, поэтому имеем:

при a\in (-\infty; -1] \cup (1; +\infty) 0 корней, при a\in(-1;1] - 1 корень

Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При a=0 точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.

Далее до некоторого a_0 будет 2 точки пересечения, при a_0 (это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при aa_0 будет 0 точек пересечения. Найдем это a_0

Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).

Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как y=x+a, у 2-го кусочка y=x-1+a, у 3-его y=x-2+a, а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.

Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что D=0.

x+a=\sqrt{2x-x^2}; \ x^2+2ax+a^2=2x-x^2; 2x^2+2(a-1)x+a^2=0; \\ D_1=(a-1)^2 -2a^2=a^2-2a+1-2a^2=-a^2-2a+1; D_1=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow -a^2-2a+1=0; a^2+2a-1=0; D_{1a}=1-(-1)=2; a=-1\pm \sqrt{2}

Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее

a=-1+ \sqrt{2}

Теперь как-то структурируем ответ

При a \leq -1 решений 0.

При -1 будет 1 решение с 2-го кусочка.

При a=0 будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.

При 0 будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.

При a=-1+ \sqrt{2} будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.

При -1+ \sqrt{2} будет только 1 решение со 2-го кусочка

При a1 будет 0 решений.

Объединяя все сказанное, получаем, что:

при a \in (-\infty; -1] \cup (1; + \infty) 0 решений,

при a \in (-1;0) \cup (-1+ \sqrt{2}; 1] 1 решение,

при a \in { \{-1 + \sqrt{2} \} } 2 решения,

при a \in [0; -1 + \sqrt{2}) 3 решения

P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция {x} уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно


Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра `a` ({x}- дробная часть чис
Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра `a` ({x}- дробная часть чис
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота