Алгебра: Найдите и - абсциссы точек экстремума функции , центрально-симметричных относительно начала координат, и вид функции, если и

Найдите $x_{1}$ и $x_{2}$ - абсциссы точек экстремума функции $y = x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3}$ , центрально-симметричных относительно начала координат, и вид функции, если $f(x_{2} ) = 11$ и $f(x_{1} ) = 7$

Показать ответ

Ответ:

Cat09112005

15.10.2020 16:10

$f(x_{1})=x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}$ и $f(x_{1})=7$ , то

$x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7$

$f(x_{2})=x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}$ и $f(x_{2})=11$ , то

$x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}=11$

$x_{1}$ и $x_{2}$ - точки экстремума функции, производная которой

$f`(x)=3x^2+2a_{1}x^2+a_{2}$ ,

f`(x)=0 в точках $x_{1}$ и $x_{2}$ :

$f`(x_{1})=3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}$

$f`(x_{2})=3x^2_{2}+2a_{1}x^2_{2}+a_{2}$ , то

$3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

$3x^2_{2}+2a_{1}x_{2}+a_{2}=0$

$x_{1}$ и $x_{2}$ - точки экстремума функции центрально- симметричные относительно начала координат, значит $x_{2}$ = - $x_{1}$

$3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

$3x^2_{1}-2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

⇒ $a_{1}=0$

Решаем систему :

$\left \{ {{x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7} \atop {{x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}=11}\atop {{{3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0}} \atop { x_{2} = -x_{1} }}} \right.$ $\left \{ {{x^3_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7} \atop {{-x^3_{1}-a_{2}x_{1}+a_{3}=11}\atop {{{3x^2_{1}+a_{2}=0}} }}} \right.$

Складываем первые два уравнения и вычитаем:

$\left \{ {{2a_{3}=18} \atop {{2x^3_{1}+2a_{2}x_{1}=-4}\atop {{{3x^2_{1}+a_{2}=0}} }}} \right.$

$\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}+a_{2}x_{1}+2=0}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$ $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}-3x^2_{1}\cdot x_{1}+2=0}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$ $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}=1}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$ $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x_{1}=1}\atop {{{a_{2}=-3}} }}} \right.$