Найди количество решений уравнений x1+x2+x3+x4=81,в натуральных числах x1,x2,x3,x4

14sin^2(x) + 4cos(2x) = 11sin(2x) - 4.

cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x), подставим:

14sin^2(x) + 4cos^2(x) - 4sin^2(x) = 11sin(2x) - 4.
14sin^2(x) + 4cos^2(x) + 4 - 4sin^2(x) = 11sin(2x)
14sin^2(x) + 4cos^2(x) + 4 (1 - sin^2(x)) = 11sin(2x) (мы использовали, что 1-sin^2(x) = cos^2(x))
14sin^2(x) + 4cos^2(x) + 4 cos^2(x) = 11sin(2x)

14sin^2(x) + 8cos^2(x) - 11sin(2x) = 0;
sin(2x) = 2sin(x)cos(x), подставим:

14sin^2(x) + 8cos^2(x) - 22cos(x)sin(x) = 0; let's divide everything by cos^2(x), знай что sin/cos = tg,

Важно: x не равен  Pi/2 + 2Pi*n, где n целое;

14 tg^2(x) + 8 - 22 tg(x) = 0;

обозначим tg(x) as y

14y^2 -22y + 8 = 0
let's simplify a bit
7y^2 - 11y + 4 =0
D = 121 - 112 = 9

y1 = (11 - 9) /14 = 2/14
y2 = (11 + 9) /14 = 18/14

tg(x) = 2/14
or tg(x)= 18/14

x = arctg(2/14) + Pi*k, где k целое

или x = arct(18/14) + Pi*k гдеk целое

ответ:

arctg(2/14) + Pi*k, где k целое

и

arctg(18/14) + Pi*l где l целое

Пусть первый рабочий в час делает х деталей.

Т.е.  его производительность равна х дет/ч.

Используя формулу  А =  Р*t (где А - работа, Р -производительность, t - время, за которое выполнениа работа А),   составим талицу:

                    A ( дет)                         P( дет/ч)                      t( ч)

1  раб                 432                              х                              432 / х                  

2  раб                 360                            х - 6                         360/(х - 6)

По условия  1-й  раб  заканчивает работу на 2 часа раньше, чем 2-й рабочий, значит

его время работы меньше на 2 часа:

360/(х - 6)  -   432 / х   =  2          |  х * (х - 6)

360 х     -    432 * (х - 6)  =  2х * (х - 6)   | : 2

180 х   - 216* (х - 6)  =  х * (х - 6)

180 х   -  216 х   +  1296  =  х² - 6х

1296  - 36 х  =  х² - 6х

х² +  30х - 1296 = 0

D  =  900  +  4*1296  =  6084

√D  = 78

х₁ =  (-30 + 78) /2   = 24
х₂ =  (-30 - 78) /2   =   -108 /2 = - 54 (отриц. число, не подходит)

ответ:  первый рабочий делает 24 детали в час.