Моторний човен проплив 12 км від пристані до острова. На зворотному шляху він збільшив швидкість на 2 км/год і провів у дорозі на 1 год менше.
З якою швидкістю плив човен від пристані до острова?
Човен плив від пристані до острова зі швидкістю
км/год.?
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Это возрастающая функция, но чем правее, тем она растет медленнее, поскольку с ростом x убывает. Значит, при возрастании аргумента с 5 до 7 (на 2 единицы) функция увеличится больше, чем при возрастании аргумента с 11 до 13 ( на те же 2 единицы). Вывод:
.
Если такими методами пользоваться нельзя, произведем несколько преобразований, не изменяющих знак между левой и правой частями.
;
возводим в квадрат:
еще одно возведение в квадрат приводит к очевидному неравенству
Значит, во всех местах, можно заменить знак вопроса на знак больше