Моторний човен проплив 12 км від пристані до острова. На зворотному шляху він збільшив швидкість на 2 км/год і провів у дорозі на 1 год менше.

З якою швидкістю плив човен від пристані до острова?
Човен плив від пристані до острова зі швидкістю
км/год.?

Показать ответ

Ответ:

willzymustdie

13.04.2021 19:20

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

$a+c \equiv b + d \ (mod \ m)$

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

$ac \equiv bd \ (mod \ m)$

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

$a = 5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45}$

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, $16 \equiv (-1) \ (mod \ 17)$ , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что $32 \equiv 1 \ (mod \ 31)$ , получаем

$5\cdot 2^{51} = 5\cdot 2^1 \cdot 2^{50}=10 \cdot 2^{10\cdot 5} = 10 \cdot (2^{5})^{10}= 10\cdot 32^{10} \equiv 10 \cdot 1^{10} \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

$21\cdot 32^{45} \equiv 21 \cdot 1^{45}\ (mod \ 31) \equiv 21 \ (mod \ 31)$

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

$5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45} \equiv 10+21 \ (mod \ 31) \equiv 31 \ (mod \ 31) \equiv 0 \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

0,0(0 оценок)

Ответ:

Юшут

28.07.2022 18:35

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x}.$

Это возрастающая функция, но чем правее, тем она растет медленнее, поскольку $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ с ростом x убывает. Значит, при возрастании аргумента с 5 до 7 (на 2 единицы) функция увеличится больше, чем при возрастании аргумента с 11 до 13 ( на те же 2 единицы). Вывод:

$\sqrt{7}-\sqrt{5}\ \textgreater \ \sqrt{13}-\sqrt{11}$ .

Если такими методами пользоваться нельзя, произведем несколько преобразований, не изменяющих знак между левой и правой частями.

$\sqrt{7}-\sqrt{5}\ \ ?\ \ \sqrt{13}-\sqrt{11}$ ;

возводим в квадрат:

$7-2\sqrt{35}+5 \ ? \ 13-2\sqrt{143}+11; \ 2\sqrt{143} \ ? \ 2\sqrt{35}+12;$

$\sqrt{143}\ ? \ \sqrt{35}+6;\ 143\ ? \ 35+12\sqrt{35}+36;\ 72 \ ? \ 12\sqrt{35};\ 
6 \ ? \ \sqrt{35};$

еще одно возведение в квадрат приводит к очевидному неравенству

$36\ \textgreater \ 35.$

Значит, во всех местах, можно заменить знак вопроса на знак больше

Сравните корень из 7 минус корень из 5 и корень из 13 минус корень из 11